一道高考题-2022年2卷第18题
记三角形ABC内角A， B， C的对边分别是a, b, c, 以a, b, c为边的三个正三角形的面积分别为S1， S2， S3， 且S1-S2 S3=√3/2, sinB=1/3,
（1）求三角形ABC的面积
（2）若sinAsinC=√2/3, 求b.
解：先求（1）有关三角形的面积
因为对于正三角形其面积S=√3a.a/4, 带入给定的已知等式有：
√3a.a/4-√3b.b/4 √3c.c/4=√3/2
化简后有：
根据给定的是角B的正弦值，所以针对角B利用余弦定理：
将上面的两个等式左右相加后得出：
0=2-2ac·cosB
由于三角形ABC的面积为A=(ac·sinB)/2
将上面的两个等式组合后，有
S=(sinB/cosB)/2=(tanB)/2
根据sinB=1/3, 则tanB=1/√8=√2/4
最后三角形ABC的面积A=√2/8
(2) 接下来求解b的长度，利用正弦定理
首先根据（1）要求出ac的值，
显然
ac=1/cosB=1/(2√2/3)=(3√2)/4
因为：
b/sinB=a/sinA
b/sinB=c/sinC
将上面的两个等式左右相乘
b/sinB·b/sin=ac/(sinAsinC)
将ac=(3√2)/4
和sinAsinC=√2/3
即得出：
b/sinB·b/sinB =9/4
所以b=3/2·sinB=3/2·1/3=1/2
