图4 Appell 分析自行车运动的插图
为说明离心力效应，先假设骑车人已掌握了骑车要领，善于控制把手使前轮朝车身倾斜方向转动，转角为ψ。前轮的偏转改变了前轮的前进方向，使自行车转为曲线运动。设地面上与前后轮速度矢量v1 和v2 正交的直线相交于O 点，即自行车的瞬时速度中心。设车体的质量和速度为m 和v，质心Oc 与O 点的水平距离为R，Oc与地面的垂直高度为h，则车体绕O 点的曲线运动产生离心惯性力Fc=mv²/R。此离心力与倾斜方向相反，能克服车身因倾斜产生的重力矩，将自行车拉回到垂直位置而保持稳定（图5）。
图5 自行车的离心力效应与陀螺效应
根据以上分析，离心力效应的必要条件是前轮朝车身倾斜方向转动。而陀螺效应有助于完成此动作。设车体向左侧倾斜的角速度为ωx，前轮的动量矩为L，则产生沿垂直轴向上陀螺力矩Mz=-ωx×L。此力矩驱动前轮绕前叉轴朝倾斜方向转动产生角加速度，当角加速度随时间积累成角度ψ 时，自行车就改变前进方向产生离心力效应。
此外，当车体的倾斜角速度ωx 积累成倾斜角度θ 时，重力产生倾覆力矩mghθ。此力矩导致前轮的动量矩L 绕垂直轴进动，产生绕前叉轴的转动角速度ωz，形成与重力矩方向相反的陀螺力矩Mx=-ωz×L 与重力矩抗衡，使车体停止倾覆。而角速度ωz 的出现也有助于前轮完成正确的转向。
由此可见，有两种陀螺效应同时存在：车体的侧向倾斜角速度ωx 产生的陀螺力矩 Mz 促使前轮绕前叉轴朝倾斜方向转动，使离心力效应发挥稳定作用。而侧向倾斜角θ导致重力矩和与之平衡的陀螺力矩Mx 使车体停止倾覆，直接起稳定作用。
对力学解释的质疑和探索
离心力效应和陀螺效应流行了数十年，却于1970年出现了问题。英国的一位化学家Jones 对传统的自行车陀螺效应产生怀疑。他设计了一辆特殊自行车，在前轮上并排安装了一个同样大小但不接触地面的轮子。两个轮子同方向旋转时可产生加倍的陀螺效应，若反向旋转则陀螺效应被抵消为零。奇怪的是这两种情况对自行车的稳定性并无太大影响。骑行无陀螺效应的自行车，即使双手脱把也照样能稳定不倒（图6）[5]。他的论文于2006年重新刊出，多处被引用和讨论。2012年1月，美国的网络版科普杂志《Discover Magazine》评选了2011年全球100个顶尖科学故事。其中的 “自行车的新物理” 荣居第26位，掀起了一股重新认识自行车力学原理的热潮。
图6 Jones的无陀螺效应自行车
关于陀螺效应的分析在理论上并无漏洞，Jones 的无陀螺效应自行车的实验也不能完全否定陀螺效应的存在。问题在于前轮的动量矩太小，产生的陀螺效应太微弱，以致被其它更重要的稳定因素所掩盖。笔者曾在算例中估计在受控情况下，车轮的陀螺效应仅占稳定性因素的3%左右[6]。问题是除陀螺效应以外，还有没有更重要的其它稳定因素？
早在半个世纪以前，德国的Grammel 教授在1950年出版的陀螺力学著作中就已提出与自行车稳定性有关的另一个重要因素，即前叉转轴与前轮的相对位置[4]。Grammel 认为，要使自行车有稳定能力，前叉转轴与地面的交点必须位于前轮与地面接触点的前方。设车身的对称平面为Π，前叉相对垂直轴的倾角为d，前叉支在前轮的中心O 点处，与前叉转轴的距离为d。前叉转轴的延长线与地面的交点为 Q，Q 点在前轮与地面的接触点P 的前方，与P 点的水平距离为Δ（图7）。车身通过前叉在前轮中心处作用的重力W 与地面在P 点作用的法向约束力FN 平衡，FN=W。当车身连同前叉向右侧倾斜θ 角时，沿垂直轴的重力W 和法向约束力FN 不再共线，而是朝Π 平面的不同侧偏离Π 平面。二者沿Π 平面法线方向的投影分别为Wsinθ和FNsinθ，且分别以d 和Δcosd 为力臂，产生绕前叉转轴方向相同的力矩M=Wsinθ(d Δcosθ) 推动前叉转动。转动方向恰好与车身倾斜方向一致，从而产生与陀螺效应相同的结果，使离心力效应发挥稳定作用。
图7 自行车前叉和前轮的受力图
Grammel 提出的观点当时并未引起太多注意，Jones 却做了更仔细的研究。他通过多次实验探寻自行车前叉结构的几何参数对稳定性的影响。使用图7中的符号，以Q 点表示前叉转轴与地面的交点，P 点表示前轮与地面的接触点。实验结果证实，Q 在P 的前方时（图8a），即使消除陀螺效应，自行车也能稳定。而Q 在P 的后方时，自行车无论如何操纵都不可能稳定（图8b）。Jones 实验的重要贡献在于，他重申并确立了影响自行车稳定性的又一重要因素，可称之为“脚轮效应”(castor effect)。
