图8 自行车的脚轮效应
(a) Δ>0稳定；(b) Δ<0不稳定
脚轮效应名词的由来是因为超市购物车的脚轮总是保持在转轴的后方而自行稳定。一旦脚轮的滚动偏离购物车前进方向，侧向摩擦力即推动脚轮转到与行走方向一致的位置（图9）。自行车的前轮与超市购物车的脚轮有相似之处。当你手扶坐垫向前推车时，前轮很容易顺从前进。如向后倒退，前轮就左右摇晃，表现出明显的脚轮效应。
图9 超市购物车
骑车人的控制作用
自行车的运动离不开人的驾驶，早期的研究多将自行车视为由车身、前叉、前轮、后轮等刚体组成的多体系统。即使考虑驾车人的存在，也简化成固定在车身上的刚体。基于这种模型的计算曾得出行驶速度超过每小时20公里可导致不稳定的结论。Grammel 早已指出此结论明显错误，完全违反人们的骑车实践。因为按照经验，骑车速度愈快愈容易稳定。错误的根源在于忽视了骑车人通过操纵车把和调整躯体姿态对自行车的控制作用。这个道理是显而易见的，对于没学会骑车的人而言，骑上再好的自行车也不可能稳定。
由此可见，自行车的运动并非纯粹的经典力学问题。对自行车的力学分析必须考虑驾车人的控制作用，即依据对车体姿态的感知随时操纵车把和调整自身躯*姿态。若在简单自行车模型上增加骑车人对车把的控制，控制规律简化为令前叉转角 ψ 随车身倾角θ 按比例变化，即ψ=kθ。计算得到的比例系数k 的稳定域取决于速度，速度愈快k 的下限愈低，对车把的控制愈轻便。此结果显然更接近实际情况[6]。
考虑骑车人控制作用的自行车稳定性研究对无人自行车的设计有重要作用。2016年Google 宣布已造出自动行驶的无人自行车，引起不小的轰动。但随后声称只是个愚人节玩笑。但据报导，自平衡无人自行车已在清华大学自动化系制造成功，2017年在美国奥斯汀的NI WEEK 2017大会中做过展示，且入围 NI Engineering Impact Awards[7]。
1982年，英国人Lowell 和McKell 曾考虑离心力效应、陀螺效应和脚轮效应等所有稳定性因素，建立了较完善的自行车数学模型。同时利用前叉转角ψ 随车身倾角 θ 按比例变化的控制规律ψ=kθ 对车把施加控制。但所导出的特征根存在正实部，表明即使考虑所有稳定因素，此简单的控制规律仍未能使自行车保持稳定[8]。因此无法从理论上解释自平衡无人自行车已成功实现的现实。但若将对前叉转角ψ 的控制改为对车把控制力矩Mcy 的控制，且在控制规律内增加前叉角速度dθ/dt 的因素，令 Mcy=Jy[k1θ k2(dθ/dt)]。则选择适当的系数k1、k2 就能使系统实现渐近稳定性。
综上所述，自行车的内在稳定性因素主要来自离心力效应和脚轮效应，而驾车人的控制对行驶中的自行车稳定性起决定性作用。对自行车行驶动力学的研究必须考虑驾车人的控制作用，对控制规律的深入研究对设计和实现自稳定无人自行车有重要意义。
参 考 文 献：
[1] Herlihy D V. Bicycle: the history. New Haven: Yale University Press, 2004
[2] Timoshenko S, Young D H. Advanced Dynamics. New York: McGraw-Hill, 1948
[3] Klein F, Sommerfeld A. über die Theorie des Kreisels. Leipzig: Teubner, 1910
[4] Grammel,R. Der Kreisel, seine Theorie und seine Anwendungen. New York: Springer, 1950
[5] Jones D E H. The stability of the bicycle. Physics Today, 2006, (9): 51~56
[6] 刘延柱. 自行车的受控运动. 力学与实践，1995, 17 (4) : 39~42
[7] https://www.eet-china.com/news/201705231414.html
[8] Lowell J, McKell H D. The stability of bicycles. Amer. J. Physics, 1982, 50(12): 1106~1112
（原文注：改写自刘延柱. 关于自行车的稳定性. 力学与实践，2012，34(2): 90-93；刘延柱. 再谈无人自行车的自稳定性. 力学与实践. 2020, 42(1): 116-118）
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