抽样定理是数字信号处理和通信系统中的一项核心原理，它提供了将连续信号转化为离散信号的准则，以确保信号在采样和重构过程中不失真。抽样定理可以概括如下：
### 抽样定理的核心内容：
抽样定理指出，对于一个频谱受限的模拟信号，只要采样频率大于信号最高频率（称为奈奎斯特频率）的两倍，就可以精确地从采样序列中恢复原始连续信号，而不引入任何失真。数学表达式为：
[ f_S geq 2f_h ]
其中：
- ( f_S ) 是采样频率，即每秒钟抽取信号样值的次数。
- ( f_h ) 是信号的最高频率（也称奈奎斯特频率的一半或信号带宽），它是信号频谱中非零成分的最大频率。
### 原理详解：
1. **连续信号**: 假设有一个时间连续的模拟信号，其频谱范围被限制在一个最大频率 ( f_h ) 以内，意味着信号的所有频率分量都在 ( [0, f_h] ) 范围内。
2. **采样过程**: 通过一个采样器每隔固定的周期 ( T = frac{1}{f_S} ) （也就是采样周期）获取信号的瞬时幅度值，形成一系列离散的样值。这些样值构成了信号的采样序列。
3. **无失真恢复条件**: 根据抽样定理，只有当采样频率 ( f_S ) 足够高，即 ( f_S > 2f_h )，才能保证采样后的信号可以通过适当的重构（如通过理想低通滤波器）还原出原始连续信号。如果采样频率不满足此条件，高频信号分量将会在频率轴上“折叠”回来，导致混叠现象，进而影响到低频部分，无法正确恢复原信号。
4. **预滤波要求**: 在实际应用中，为了防止混叠，通常会在采样前使用一个抗混叠滤波器来限制输入信号的带宽，确保所有高于奈奎斯特频率的信号分量都被衰减到足够低的程度。
### 应用实例：
在音频录制和播放、图像扫描、遥测以及其他各种信号采集和传输系统中，抽样定理都是设计和实现的基础。例如，在CD音频系统中，声音信号被采样为44.1kHz的样值，这是因为人类可听声音的最高频率大约为20kHz，因此根据抽样定理，至少需要40kHz以上的采样率来无损捕获所有音频信息。
