作者：董文辉
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本文为你总结常见损失函数和评价指标。
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## 1. 损失函数：
### 1.1 回归问题：
#### 1. 平方损失函数（最小二乘法）：
$$L(Y,f(x)) = \sum_{i=1}^n(Y-f(X))^2$$
回归问题中常用的损失函数，在线性回归中，可以通过极大似然估计（MLE）推导。计算的是预测值与真实值之间距离的平方和。实际更常用的是**均方误差（MSE）**：
$$L(Y,f(x)) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^n(Y-f(X))^2$$
#### 2 平均绝对值误差（L1）-- MAE：
$$L(Y,f(x)) = \sum_{i=1}^n|Y-f(X)|$$
MAE是目标值和预测值之差的**绝对值之和**，可以用来衡量预测值和真实值的距离。**但是它不能给出，模型的预测值是比真实值小还是大。**
#### 3 MAE（L1） VS MSE（L2）：
* **MSE计算简便，但MAE对异常点有更好的鲁棒性:**
当数据中存在异常点时，用RMSE计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价，朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。
>直观上可以这样理解：如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值，那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE，那么这个值，则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知，对异常值而言，中位数比均值更加鲁棒，因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。
* **NN中MAE更新梯度始终相同，而MSE则不同**：
MSE损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。
* **Loss选择建议：**
* **MSE：** 如果异常点代表在商业中很重要的异常情况，并且需要被检测出来。
* **MAE：** 如果只把异常值当作受损数据。
#### 4. Huber损失：
$$
L_{\delta}(y, f(x))=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{2}(y-f(x))^{2}} & {\text { for }|y-f(x)| \leq \delta} \\ {\delta|y-f(x)|-\frac{1}{2} \delta^{2}} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.
$$
Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。当Huber损失在$[0-\delta,0 \delta]$之间时，等价为MSE，而在$[-∞,\delta]$和$[\delta, ∞]$时为MAE。
### 1.2 分类问题：
#### 1. LogLoss：
$$
J(\theta)=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)} \log h_{\theta}\left(x^{(i)}\right) \left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)\right)\right]
$$
**二分类**任务中常用的损失函数，在LR中，通过对似然函数取对数得到。也就是**交叉熵**损失函数。
#### 2. 指数损失函数：
$$L(y,f(x)) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^n{exp[-y_if(x_i)]}$$
在AdaBoost中用到的损失函数。
## 2.评价指标：
如何评估机器学习算法模型是任何项目中一个非常重要的环节。分类问题一般会选择准确率（Accuracy）或者AUC作为metric，回归问题使用MSE，但这些指标并不足以评判一个模型的好坏，接下来的内容我将尽可能包括各个评价指标。上述损失函数大部分可以直接作为评价指标来使用，上面出现过的简单介绍。
### 2.1 回归问题：
**1. MAE：
** 平均绝对误差（Mean absolute Error），范围 $[0, ∞)$
$$
MAE=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|\hat{y}_{i}-y_{i}\right|
$$
**2. MSE：
** 均方误差（Mean Square Error），范围 $[0, ∞)$
$$
MSE=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-y_{i}\right)^{2}
$$
**3. RMSE：
** 根均方误差（Root Mean Square Error），范围 $[0, ∞)$
$$
RMSE =\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-y_{i}\right)^{2}}
$$
取均方误差的平方根可以使得量纲一致，这对于描述和表示是有意义的。
**4. MAPE：
** 平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error）
$$
MAPE=\frac{100 \%}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\hat{y}_{i}-y_{i}}{y_{i}}\right|
$$
**注意点**：当真实值有数据等于0时，存在分母0除问题，该公式不可用！
**5. SMAPE：
** 对称平均绝对百分比误差（Symmetric Mean Absolute Percentage Error）
$$
SMAPE=\frac{100 \%}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left|\hat{y}_{i}-y_{i}\right|}{\left(\left|\hat{y}_{i}\right| \left|y_{i}\right|\right) / 2}
$$
**注意点：** 真实值、预测值均等于0时，存在分母为0，该公式不可用！
**6. R Squared:**
$$
R^{2}=1-\frac{\sum_{i}\left(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)}\right)^{2}}{\sum_{i}\left(\bar{y}-y^{(i)}\right)^{2}}
$$
$R^2$即**决定系数（Coefficient of determination）**，被人们称为最好的衡量线性回归法的指标。
如果我们使用同一个算法模型，解决不同的问题，由于不同的数据集的量纲不同，MSE、RMSE等指标不能体现此模型针对不同问题所表现的优劣，也就无法判断模型更适合预测哪个问题。$R^2$得到的性能度量都在[0, 1]之间，可以判断此模型更适合预测哪个问题。
**公式的理解：**
1. 分母代表baseline（平均值）的误差，分子代表模型的预测结果产生的误差；
2. 预测结果越大越好，$R^2$为1说明完美拟合，$R^2$为0说明和baseline一致；
**7. 代码实现：**
```python
# coding=utf-8
import numpy as np
from sklearn import metrics
# MAPE和SMAPE需要自己实现
def mape(y_true, y_pred):
return np.mean(np.abs((y_pred - y_true) / y_true)) * 100
def smape(y_true, y_pred):
return 2.0 * np.mean(np.abs(y_pred - y_true) / (np.abs(y_pred) np.abs(y_true))) * 100
y_true = np.array([1.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 5.0, -3.0])
y_pred = np.array([1.0, 4.5, 3.5, 5.0, 8.0, 4.5, 1.0])
# MSE
print(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)) # 8.107142857142858
# RMSE
print(np.sqrt(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred))) # 2.847304489713536
# MAE
print(metrics.mean_absolute_error(y_true, y_pred)) # 1.9285714285714286
# MAPE
print(mape(y_true, y_pred)) # 76.07142857142858
# SMAPE
print(smape(y_true, y_pred)) # 57.76942355889724
# R Squared
print(r2_score(y_true, y_pred))
```
### 2.2 分类问题：
#### 0. Confusion Matrix（混淆矩阵）：
混淆矩阵一般不直接作为模型的评价指标，但是他是后续多个指标的基础。以下为二分类的混淆矩阵，多分类的混淆矩阵和这个类似。
| |预测正例| 预测反例|
|--|--|--|
|真实正例|TP（真正例）| FN（假反例）|
|真实反例|FP（假正例）|TN（真反例）|
我们训练模型的目的是为了降低FP和FN。很难说什么时候降低FP，什么时候降低FN。基于我们不同的需求，来决定降低FP还是FN。
* **降低假负数例（FN）**：
假设在一个癌症检测问题中，每100个人中就有5个人患有癌症。在这种情况下，即使是一个非常差的模型也可以为我们提供95％的准确度。但是，为了捕获所有癌症病例，当一个人实际上没有患癌症时，我们可能最终将其归类为癌症。因为它比不识别为癌症患者的危险要小，因为我们可以进一步检查。但是，错过癌症患者将是一个巨大的错误，因为不会对其进行进一步检查。
* **降低假正例（FP）**：
假设在垃圾邮件分类任务中，垃圾邮件为正样本。如果我们收到一个正常的邮件，比如某个公司或学校的offer，模型却识别为垃圾邮件（FP），那将损失非常大。所以在这种任务中，需要尽可能降低假正例。
#### 1. Accuracy（准确率）：
$$
Acc=\frac{T P T N}{T P T N F P F N}
$$
准确率也就是在所有样本中，有多少样本被预测正确。
当样本类别均衡时，Accuracy是一个很好的指标。
但在样本不平衡的情况下，产生效果较差。假设我们的训练数据中只有2%的正样本，98%的负样本，那么如果模型全部预测为负样本，准确率便是98%,。分类的准确率指标很高，会给我们一种模型很好的假象。
#### 2. Precision（精准率）：
$$
P=\frac{T P}{T P F P}
$$
**含义：** 预测为正例的样本中有多少实际为正；
#### 3. Recall（召回率）：
$$
R=\frac{T P}{T P F N}
$$
**含义：** 实际为正例的样本有多少被预测为正；
#### 4. P-R曲线：
通过选择不同的阈值，得到Recall和Precision，以Recall为横坐标，Precision为纵坐标得到的曲线图。
**PR曲线性质：**
* 如果一个学习器的P-R曲线被另一个学习器的曲线完全包住，后者性能优于前者;
* 如果两个学习器的曲线相交，可以通过平衡点的来度量性能，它是“查准率=查全率”时的取值；
* **阈值为0时**：$TP=0 => Precision=0，Recall=0$ 所以PR 曲线经过 **(0,0)点**；
* **阈值上升**：
* **Recall**：不断增加，因为越来越多的样本被划分为正例；
* **Precision：** 震荡下降，不是严格递减；
* 如果有个划分点可以把正负样本完全区分开，那么P-R曲线面积是1*1；
#### 5. $F_{\beta }$（加权调和平均）和 $F_1$（调和平均）:
$$F_{\beta }=\frac{(1 \beta ^{2})*P*R}{(\beta ^{2}*P) R}$$
* $\beta >1$：召回率（Recall）影响更大，eg.$F_2$
* $\beta <1$：精确率（Precision）影响更大，eg.$F_{0.5}$
$\beta$为1的时候得到$F_1$：
$$F_{1}=\frac{2*P*R}{P R}$$
调和平均亦可推出：
$$\frac{1}{F_{1}}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{R} \frac{1}{P})$$
#### 6. ROC-AUC：
**Area Under Curve(AUC)** 是**二分类**问题中使用非常广泛的一个评价指标。**AUC的本质是，任取一个正样本和负样本，模型输出正样本的值大于负样本值的概率**。构成AUC的两个基本指标是假正例率和真正例率。
* **横轴-假正例率：** 实际为负的样本多少被预测为正；
$$FPR=\frac{FP}{TN FP}$$
* **纵轴-真正例率：** 实际为正的样本多少被预测为正；
$$TPR=\frac{TP}{TP FN}$$
TPR和FPR的范围均是[0,1]，通过选择不同的阈值得到TPR和FPR，然后绘制ROC曲线。
**曲线性质：**
1. 阈值最大时，对应**坐标点为(0,0)**,阈值最小时，对应**坐标点(1,1)**；
2. ROC曲线越靠近左上角，该分类器的性能越好；
3. 对角线表示一个随机猜测分类器；
4. 若一个学习器的ROC曲线被另一个学习器的曲线完全包住，后者性能优于前者；
**AUC：** ROC曲线下的面积为AUC值。
#### 7. 代码实现：
```python
from sklearn.metrics import accuracy_score,precision_score,recall_score,f1_score,fbeta_score
y_test = [1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0]
y_pred = [1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0]
print("准确率为:{0:%}".format(accuracy_score(y_test, y_pred)))
print("精确率为:{0:%}".format(precision_score(y_test, y_pred)))
print("召回率为:{0:%}".format(recall_score(y_test, y_pred)))
print("F1分数为:{0:%}".format(f1_score(y_test, y_pred)))
print("Fbeta为:{0:%}".format(fbeta_score(y_test, y_pred,beta =1.2)))
```
### 参考资料：
[1. 分类问题性能评价指标详述]
(https://blog.csdn.net/foneone/article/details/88920256)
[2.AUC，ROC我看到的最透彻的讲解]
(https://blog.csdn.net/u013385925/article/details/80385873)
[3.机器学习大牛最常用的5个回归损失函数，你知道几个？]
(https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-06-21-3)
[4.机器学习-损失函数]
(https://www.csuldw.com/2016/03/26/2016-03-26-loss-function/)
[5.损失函数jupyter notebook]
(https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb)
[6.L1 vs. L2 Loss function]
(http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/)
[7. P-R曲线深入理解]
(https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/80009867)
编辑：于腾凯
校对：林亦霖
作者简介
董文辉，电子科技大学硕士，主要研究方向：推荐系统、自然语言处理和金融风控。希望能将算法应用在更多的行业中。
—完—
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