显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。
函数y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应么？现在我们是给定一个点（假设横坐标为x），就有一个斜率dy/dx跟它对应。显然，这也是个函数，这个函数就叫导函数，简称导数。
在中学的时候，我们通常在函数f(x)的右上角加上一撇表示这个函数的导数，那么现在这两种情况就都表示导数：
所以，导数f’(x)就可以表示横坐标为x的地方对应切线的斜率，它表示曲线在这一点上的倾斜程度。如果导数f’(x)的值比较大，曲线就比较陡，f’(x)比较小，曲线就比较平缓。于是，我们就可以用导数来描述曲线的倾斜程度了。
这还是我们前面说的抛物线，它的函数图像是这样的：
求函数的导数，就是求函数在每一点切线的斜率，而切线就是曲线上两个相距无穷小的点确定的直线。
那就好说了，我们假设曲线上有一个横坐标为x的点，那么，跟它距离无穷小的点的横坐标就是x dx，由于这个点也在曲线f(x)=x²上，所以它的纵坐标就是(x dx)²，即：
然后，我们用这两个点的纵坐标之差f(x dx)-f(x)除以横坐标之差(x dx)-x就能算出x点的切线斜率。因为这个x是任意取的，所以得到的结果就是任意点的切线斜率，那么这就是导数了：
