等式与不等式性质的比较方法,等式性质与不等式性质的简单方法

学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．

导语

同学们，2008年你们也就刚出生不久，但是08年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥运会，没有之一，其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心，世界都把目光聚焦到北京，反映出中国经济发展的高水平和快速度，一个开放的中国正在向世界展露出新的姿态，使得中国对世界更加开放，世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国，有人说北京奥运会超过已经举办的任何一届奥运会！在刚才这一段话中，大家能发现有哪些不等关系吗？(条件允许可提前播放中国队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲《我和你》)

一、等式性质与不等式的性质

问题　判断下列命题是否正确？

(1)如果a＝b，那么b＝a；

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；

(4)如果a＝b，那么ac＝bc；

(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.

提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质．

知识梳理

不等式的性质

例1　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)

A．若a>b，则ac2>bc2

B．若a>b>0，则>

C．若a<b<0，则>

D．若a>b，>，则a>0，b<0

答案　D

解析　方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；

由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题；

⇒>，故C为假命题；

⇒ab<0.

∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．

方法二　特殊值排除法．

取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．

取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<，故B错．

取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错．

反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点

(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．

(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

跟踪训练1　(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)

A．|a|>|b| B．a<b

C．a＋b<ab D．a3>b3

答案　CD

解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确．

二、利用不等式的性质证明不等式

例2　已知c>a>b>0，求证：>.

证明　－＝

＝＝，

∵c>a>b>0，

∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，

∴>.

延伸探究　作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例吗？

证明　方法一　因为a>b>0，所以<，

因为c>0，所以<，

所以－1<－1，即<，

因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.

所以>.

方法二　因为c>a>b>0，

所以0<c－a<c－b，

所以0<<，

即>>0，

又因为a>b>0，所以>.

反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件．

(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件．

跟踪训练2　已知a>b>0，c<0，证明：>.

证明　方法一　－＝，

∵a>b>0，c<0，

∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0，

∴－>0，∴>.

方法二　∵a>b>0，

∴>>0，

∵c<0，∴<.

即>.

三、利用不等式的性质求代数式的取值范围

例3　已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围．

解　因为－6<a<8,2<b<3，

所以－12<2a<16，

所以－10<2a＋b<19.

又因为－3<－b<－2，

所以－9<a－b<6.

又<<，

①当0≤a<8时，0≤<4；

②当－6<a<0时，0<－a<6，

所以0<－<3，所以－3<<0.

由①②得－3<<4.

反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略

(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．

(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．

跟踪训练3　已知1<a<6,3<b<4，则a－b的取值范围是________，的取值范围是________．

答案　－3<a－b<3　<<2

解析　∵3<b<4，∴－4<－b<－3.

∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.

又<<，∴<<，即<<2.

1．知识清单：

(1)等式的性质．

(2)不等式的性质及其应用．

2．方法归纳：作商比较法、乘方比较法．

3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．

1．与a>b等价的不等式是(　　)

A．|a|>|b| B．a2>b2 C.>1 D．a3>b3

答案　D

解析　可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，

满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，

故A，B，C都不正确．

2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)

A．a>b⇒ac2>bc2 B.>⇒a>b

C.⇒> D.⇒>

答案　C

解析　当c＝0时，A不成立；

当c<0时，B不成立；

ab<0，a>b⇒<，即>，C成立．

同理可证D不成立．

3．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(　　)

A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5

C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4

答案　C

解析　∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.

又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.

4．用不等号“>”或“<”填空：

(1)如果a>b，c<d，那么a－c________b－d；

(2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac________bd；

(3)如果a>b>0，那么________；

(4)如果a>b>c>0，那么________.

答案　(1)>　(2)<　(3)<　(4)<

1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)

A.< B.<

C．a2<b2 D．|a|>|b|

答案　A

解析　∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<.

2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a－b>0 B．a3＋b3>0

C．a2－b2<0 D．a＋b<0

答案　D

解析　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，

则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，a＋b＝－1<0.故A，B，C错误，D正确．

3．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)

A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d

B．若a>－b，则c－a<c＋b

C．若a>b，c<d，则>

D．若a2>b2，则－a<－b

答案　B

解析　选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b<c＋d，A错误；

选项B，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，则B正确；

选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；

选项D当a＝－1，b＝0时不成立．

4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小是(　　)

A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b

C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b

答案　C

5．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

6．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是(　　)

A．a>b⇒ac2>bc2

B．a>|b|⇒a2>b2

C．a>b⇒a3>b3

D．|a|>b⇒a2>b2

答案　BC

解析　A当c2＝0时不成立；B一定成立；

C当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立；

D当b<0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.

7．已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是________________．

答案　

解析　∵1<α<3，∴<α<，

又－4<β<2，∴－2<－β<4.

∴－<α－β<，

即－<z<.

8．若8<x<10,2<y<4，则的取值范围为________．

答案　2<<5

解析　∵2<y<4，∴<<.

又∵8<x<10，∴2<<5.

9．(1)a<b<0，求证：<；

(2)已知a>b，<，求证：ab>0.

证明　(1)由于－＝＝，

∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，

∴<0，故<.

(2)∵<，

∴－<0，即<0，

而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.

10．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．

甲：因为－6<a<8，－4<b<2，

所以－2<a－b<6.

乙：因为2<b<3，所以<<，

又因为－6<a<8，所以－2<<4.

丙：因为2<a－b<4，所以－4<b－a<－2.

又因为－2<a＋b<2，所以0<a<3，－3<b<0，

所以－3<a＋b<3.

解　甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．

乙同学做的不对．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负．故不能将<<与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．

丙同学做的不对．同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．

11．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

12．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．xy>yz B．xz>yz

C．xy>xz D．x|y|>z|y|

答案　C

解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，

所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，

所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz.

13．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　)

A．d>b>a>c B．b>c>d>a

C．d>b>c>a D．c>a>d>b

答案　A

解析　∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，

∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.

又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.

14．不等式a>b和>同时成立的条件是________．

答案　a>0>b

解析　∵－＝，

∴a>b和>同时成立的条件是a>0>b.

15．设a，b为正实数，有下列命题：

①若a2－b2＝1，则a－b<1；

②若－＝1，则a－b<1；

③若|－|＝1，则|a－b|<1.

其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．

答案　①

解析　对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．

对于②，取特殊值，a＝3，b＝，

则a－b>1.

对于③，取特殊值，a＝9，b＝4，|a－b|>1.

16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：

(1)该函数图象过原点；

(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；

(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4，

求当x＝－2时，y的取值范围．

解　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，

∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.

又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①

当x＝1时，3≤a＋b≤4，②

∴当x＝－2时，y＝4a－2b.

设存在实数m，n，

使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，

而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，

∴

解得m＝1，n＝3，

∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.

即6≤4a－2b≤10，

故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.