我们来聊一聊无限循环小数0.999…与整数1之间的大小关系。我想,一看到这个问题,大多数人会不假思索地认为:0.999…<1,那么究竟小多少呢?可能你一时半会儿还真说不清楚。其实, 0.999…=1。
看到这个结论,你是不是就要反驳了,尽管0.999…无限接近于1,但无论如何依然小于1,怎么可能相等呢。为了验证这个结论是正确的,下面,我将通过几种不同的方法分别来证明。
反证法
我们先用反证法来论证。
假设0.999…不等于1,那么它们之间肯定存在一个差。也就是说如果进行计算:1-0.999…,我们肯定能得到一个确定的答案。
那么答案是多少呢?我们可以确定的是,答案肯定比0.1小,当然也比0.01、0.001小。可无论1前面有多少个0,答案都要比它小。但是我们不能不限地在1前面放0,因为我们不知道究竟要放多少个0,所以我们得不到一个确定的值。这就与我们假设的“0.999…与1之间肯定存在一个差”相矛盾。也就是说,0.999…等于1。
是不是有些似懂非懂的感觉呢?没关系,我们再来看看第二种论证方法。相信听了这个方法,你一定会茅塞顿开。
方程法
通常我们在没有思路的情况下,总是想到用 “万能的方程法”来“救场”。因此,这里我们也用方程来试试看。
由于不知道0.999…究竟是多少,我们假设它为x.即x=0.999…。给两边同时扩大10倍,可以得到等式10x=9.999…,而9.999…是由整数部分9和小数部分0.999…相加的结果,因此我们就可以将10x=9.999…表示为:
10x=9 0.999…
接着用x来替换0.999…,就可以得到这样一个方程:
10x=9 x
通过解这个方程,我们可以得到x=1,也就是0.999…等于1。
不知道你发现了没有,通过上面的证明,我们不但确定了0.999…等于1这个结论的正确性,还清楚地知道了将无限循环小数表示为确定数值的具体方法。
其实,所有的无限循环小数都是有理数,而有理数都可以用方程法写成分数的形式。因此,无限循环小数都可以用分数的形式表示出来。
算术法
如果说你只想知道0.999…是否等于1,对方程并不是那么“感冒”,那么,不妨再看看下面的论证方法。
想必你非常熟悉1/3是无限循环小数0.333…的分数形式,如果用等式来表示,就是:
1/3=0.333…
根据等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。因此,我们给等式两边同时乘3,这样就可以得到
1/3×3=0.333…×3
通过计算,等式就变化为:
1=0.999…
这就说明0.999…是等于1的。
当然,除了运用等式的基本性质,运用加法运算也可以得到这一结论。因为1/3=0.333…, 2/3=0.666…,所以
1/3 2/3=0.333… 0.666…
即0.999…=1。
由此看来,大多人会产生0.999…<1的错觉,说到底是对无限循环小数的概念缺乏本质的认识:所有的无限循环小数,均属于有理数范畴,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式。
最后,请你思考一个问题:你能将0.777…用分数的形式表示出来吗?欢迎你在评论区留言互动,分享你的看法。