做数学题时，我们经常遇到比较大小的问题，现在来探讨一下比较数与变量大小的方法。由浅入深，有以下八种思路，供大家参考：
第一：两个数或变量求“差”法，结果大于“零”，被减数大于减数；等于“零”，被减数等于减数；小于“零”，被减数小于减数。
例1：45-23=22＞0，故：45＞23； 89-98=-9＜0，故：89＜98。
例2：比较：a² b²和2ab的大小， a² b²-2ab=(a-b) ²≥0,（任何数的平方是非负数），故：a² b²≥2ab。
例3：用作差法比较：2a² 3a 1与a² 2a-1/2的大小
(2a² 3a 1)-(a² 2a-1/2)= a² a 1/2=(a 1/2) ² 1/4＞0（配方法）, 所以：(2a² 3a 1) ＞(a² 2a-1/2)。
第二：如果两个数或变量均为正，作“商”比较法，商＞1，则被除数大于除数；商＜1，则被除数小于除数；如果两个数或变量均为负，商＞1，则被除数小于除数；商＜1，则被除数大于除数。
例1：46÷23=2＞1，故：46＞23； -30÷（-3）=10＞1，故：-30＜ -3 。
例2：如果：0＜c＜d＜1,比较：cd，c²d，cd² 的大小？
cd / cd² = 1/d ＞1,故：cd＞cd²； c²d / cd² = c/d＜1,故：cd²＞c²d；
综上：cd＞cd²＞c²d。
例3：已知：k＜f＜0, 比较：-2/ k 和 - 2/ f 的大小
-2/k＞0, -2/f＞0，而：（-2/k）÷（-2/f）=f/k＞1,故：-2/k ＞ -2/f。
第三：裂项比较法，此法主要针对“分数”或“分式”而言，把分子裂成两项，再化简。
例1：比较 112/110 与 110/108 的大小：
112/110=1 2/110，110/108=1 2/108，故：112/110＜110/108；
例2：如果：a＞b＞c＞0，比较 (a c)/a 和 (b c)/b 的大小
(a c)/a=1 c/a, (b c)/b=1 c/b, 显然：c/a＜c/b，
故：(a c)/a＜(b c)/b。
第四：利用不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或乘以同一个正数或除以同一个正数，不等式不反向；不等式两边同时乘以同一个负数或除以同一个负数，不等式反向；同向不等式可相加。
例1：若2＜a＜6, 3＜b＜8，问：2a 3b和2a-5b的取值范围?
4＜2a＜12, 9＜3b＜24, -40＜-5b＜-15,
故：13＜2a 3b＜36， -36＜2a-5b＜-3。
例2：比较大小：（ 1) /4 和 3/4 的大小？
让两个数同时减 1/4 ，即（ 1)/4-1/4=/4, 3/4 - 1/4=2/4,
显然：/4＜2/4，所以：（ 1）/4＜3/4。
第五：当两个根式 “分式” 无法比较大小时，去分母或许会豁然开朗，即分子分母同乘以分母共轭根式，再化简。
例1：比较大小：2 /（-）与 2 /（-）
2/（-）=2（ ）/（-）（ ）
=
2/（-）=2（ ）/（-）（ ）
=
所以：2/（-）＜2/（-）。
第六：当两个“整式”根式无法比较大小时，“加”分母也是一种选项，即把整式变成分母是“1”的分式，然后分子分母同乘以分子共轭根式。
例1：比较大小：-，-
-=（-）/1
=（-）（ ）/（ )
=2/（ )
-=(-)/1
=(-)( )/( )
=2/( )
故：-<-
第七：如果两个正项式或者正数比较大小，谁平方大谁大；如果两个负项式或者负数比较大小，谁平方大谁小。
例1：（-9）²＜（-10）²，故：-9＞-10； （9）²＜（10）²，故：9<10。
例2：比较大小： ， ，大小？
（ ）²=9 2， （ ）²=9 2
显然： < 。
第八：利用函数“增减性”比大小。可以对原函数“求导”，若导函数大于零，则原函数递增，若导函数小于零，则原函数递减，当然，有些时候需要我们塑造一个函数。
例1：比较ln 2与ln 3的大小，因为函数f(x)=ln x是增函数，所以ln 2<ln 3。
例2：比较（ln 5.3）/5.3与（ln 7.2）/7.2的大小
首先塑造函数：f(x)=（ln x）/x，有f′(x)=（（ln x）-1）/x²,
当x＞e(e是自然对数的底数,e=2.718）时，（ln x）-1＞0，即f′(x)＞0，函数递增；
当x<e时，（ln x）-1<0，即f′(x)<0，函数递减。
故得出结论：（ln 5.3）/5.3<（ln 7.2）/7.2；同理，根据以上结论，我们还可比较出：
（ln 1.5）/1.5＞（ln 1.7）/1.7。
综上所述，比较大小方法很多，关键在于我们需要认真审题，才能找出方便快捷的办法。
