前面我撰文介绍了用扩幂开方术手算开平方，今天讲解如何用扩幂开方术手算开立方。到文章后半段再介绍一下目前通行的手算开立方的方法。
本文中的例题，一般只取四位有效数字。
用扩幂开方术开立方（1）如果被开方数可以写成三个很接近的数相乘的形式，那么其立方根约等于这三个数的平均数，即
如果³√C＝√abc，且b／a≈c／a≈1，那么³√C≈（a＋b＋c）／3
由于一般很难将一个数写成三个比较接近的数相乘的形式，这里就不举例说明了。后面的方法会一直使用这个原则，后面的例题都可以作为此原则例证。
（2）如果被开方数正好是在一个立方数附近，开立方时可以先将被开方数乘以这个立方数两次，使其成为三个比较接近的数相乘的形式，然后再使用（1）的方法开立方。
³√（a³＋b）
＝³√［（a³＋b）×a³×a³］／a／a
≈（a³＋b＋a³＋a³）／3／a²
＝（3a³＋b）／3a²
＝a＋b／3a²
即
³√（a³＋b）≈a＋b／3a²
这个公式是可以直接使用的，而且可以迭代使用。不过不用也行。
例1.求³√28的近似值。
解：在28的附近，27是一个完全立方数，所以
³√28＝（³√28×27×27）／3／3
≈（28＋27＋27）／3／9
≈82／27
≈3.037
当然，也可以直接套用上面的公式来算。
³√28＝³√（3³＋1）
≈3＋1／3×3²
＝3 1／27
≈3.037
在精度把控上，为使开方精度能达到四位有效数字，被开方数与其邻近的立方数之间，差距不应大于3％，但在立方根首位数字较小时，差距略大于3%也可以。例1中28与27的差距大于3%，略小于4%，是可以接受的。
（3）如果被开方数并不在某个已知的立方数附近，则可以尝试将被开立方数乘以某个立方数，使其到达另一个立方数附近，然后再使用（2）的方法来开立方。乘以的那个立方数的方根，即扩幂参数，可以参考下面方法算出。
把被开方数写成a³±b的形式，扩幂参数
n＝3a²／b（四舍五入取整）
例2.求³√3的近似值。
解：与被开立方数3比较接近的立方数有1和8，但都距离3比较远（几倍），但我们发现，3乘以7³后是1029，距离10³很接近，所以
³√3=（³√3×7³）／7
＝（³√1029）／7
＝（³√1029×1000×1000）／7／10／10
≈（1029＋1000 1000）／3／700
＝3029／2100
＝30.29／21
≈1.442
例3.求³√10的近似值。
解：³√10＝（³√10×6³）／6
＝（³√2160×2197×2197）／6／13／13
≈（2160＋2197 2197）／3／1014
＝6554／3042
≈2.1545
使用这种方法，寻找到合适的立方数是关键。可以用扩幂参数，但扩幂参数未必是最合适的数。
（4）被开方数要乘以的那个立方数，不仅可以是整数，也可以是分数。且看下面的例子
例4.求³√55的近似值。
解：我们注意到55是27的两倍多点，也就是55除以27以后约等于2，2再乘以64以后等于128，与5的立方125比较接近，因此
³√55＝（³√55／27×64）×3／4
≈（³√130.37）×3／4
＝（³√130.37×125×125）×3／4／5／5
≈（130.37＋125＋125）／3×3／100
＝380.37／100
＝3.8037
≈3.803
最后的7为什么不是入，而是舍？因为采用这种方法算出的立方根，总是比真实值略大，运算过程中130.37与125之间的差距已经超过了4%，已经不能保证四位有效数字的精度，实际的立方根的第五位有效数字，不仅小于7，而且很大概率小于5，所以，第五位有效数字那个7应该舍去，不能上入。
相对来说，大多数时候，扩幂开方术比传统的列竖式开立方要简单些，更具实用价值，尤其是被开方数比较小的时候。
类巴比伦法开立方手算开平方的方法中，有一种巴比伦法，也被称为牛顿法，这种方法稍加改造，也可以用于开立方。具体使用方法如下：
对于被开立方的数，先找到比它小和比它大且又比较接近的两个立方数，以这两个数的立方根做因数，求出被开立方数的第三个因数，这三个因数的平均值，就是被开立方数的近似立方根。
一般一次计算的精确度较低，同样方法可以再迭代一次。三个因数之间最大差距不超过3％时，一般都可以达到四位有效数字的精度。
例5.求³√100的近似值。
解：比100小的立方数有64＝4³，比100大的立方数有125＝5³，我们用4和5做因数，令
100＝4×5×a
则a＝100／4／5＝5
所以
³√100≈（4＋5＋a）／3≈4.67
三个因数中最小是4，最大是5，差距达到了20%，所以4.67这个近似值，精度是较差的，下一步可以用4.6和4.7做因数，再算一次
100＝4.6×4.7×a
a＝100／4.6／4.7≈4.6253
（4.6253＋4.6 4.7）／3≈4.642
即³√100≈4.642
三个因数中4.6与4.7的差距不到3％，所以计算结果足够达到四位精度。
例6.手撕³√200，精确到四位有效数字。
解：200／5／6≈6.67
（5＋6 6.67）／3≈5.89
200／5.8／5.9≈5.8445
（5.8445＋5.8 5.9）／3≈5.848
∴³√200≈5.848
使用这种方法时，选择的两个因数不一定非要不同，有时也可以相同，比如当被开方数非常接近某个立方数时，或者当被开方数的立方根非常接近某个确定的数时。
例7.求³√63的近似值。
解：63／4／4＝63／16＝3.9375
³√63≈（4＋4＋3.9375）／3
≈3.979
因63非常接近64=4³，所以³√63也必然非常接近4，如果用3做因数，只会增大误差，用两个4做因数，误差比较小。
例8.求³√12的近似值。
解：12＝2×2×3
∴³√12≈（2 2 3）／3≈2.33
三个因数中2与3相差已达到50%，所以计算结果误差也较大，且这种算法总是偏大，估计真实立方根应该在2.3附近，下次迭代计算时，两个因数都用2.3。
12／2.3／2.3=12／5.29≈2.2684
∴³√12≈（2.2684＋2.3 2.3）／3
≈2.289
例9.计算³√86。（精确到九位有效数字）
解：要求的精度虽高，但也只需多迭代一次而已。
86／4／5＝4.3
（4＋5＋4.3）／3≈4.43
86／4.4／4.4≈4.4421
（4.4421＋4.4 4.4）≈4.414
86／4.414／4.414≈4.414014887
（4.414014887＋4.414＋4.414）／3
≈4.41400496
∴³√86≈4.41400496
即便九位有效数字的立方根，用这种方法也不难算出来，而如果用传统的长除式来开立方，光用0补位也要补到26位，没三两个小时，恐怕算不出来。
传统的手算开立方目前最常用的手算开立方，是类似开平方那种长除式，要开出四位有效数字，已经算一项巨大工程了，要开八九位有效数字，常人根本没那个耐心完成。这里贴出一个开立方法的图解，有兴趣详细了解的，可以自己到网上搜索，这里就不详述了。
图解上仅仅是开出三位有效数字，就已经这么麻烦了，你能设想开八位有效数字是什么场景吗？
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