一、以数助形
“数(代数)”与“形(几何)”是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的.体现在数学解题中, 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全面理解数与形的关系,就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会.此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性,相互补充.“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事非.”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要,“数形结合”是一种非常重要的数学方法,也是一种重要的数学思想,在以后的数学学习中有重要的地位.
要在解题中有效地实现“数形结合”,最好能够明确“数”与“形”常见的结合点,,从“以数助形”角度来看,主要有以下两个结合点:(1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化);(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题,例如:利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等.
二、以形助数
几何图形具有直观易懂的特点,所以在谈到“数形结合”时,更多的老师和学生更偏好于“以形助数”,利用几何图形解决代数问题,常常会产生“出奇制胜”的效果,使人愉悦.几何直观运用于代数主要有以下几个方面:
(1)利用几何图形帮助记忆代数公式,例如:
正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式;
将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式;等等.
(2)利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义,通过构造几何图形,依靠直观帮助解决代数问题,或者简化代数运算.比如:
绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离;
数的大小关系就是数轴上点的左右关系,可以用数轴上的线段表示实数的取值范围;
利用函数图像的特点把握函数的性质:一次函数的斜率(倾斜程度)、截距,二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离,等等;
一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点;
函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点(函数在x=0时有意义);
锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例.