时间晶体到底是怎么一回事？| 图源：pixabay.com
导 读
晶体是物质的基本组织形式之一，是一种空间上具有周期对称性的有序结构。与此相类比，2012年，诺贝尔物理学奖获得者弗兰克·维尔切克（F. Wilczek）提出了 “时间晶体” 的概念[1,2]——
一个宏观系统即使处于能量最低的状态（物理学术语叫基态），其物理量仍然可以表现出随时间的周期振荡。
这个设想如果成立，那将是非常令人惊奇的：因为体系的能量已经达到最低，无从耗散 ，所以其振荡也不会衰减。
他最初的设想后来被证明并不可行[3,4]，但是其新奇和大胆仍然激发了领域内的研究热情。
在过去的十年里，物理学家取得了对量子物理系统的时间动力学性质更为深刻的认识。研究者们提出，类似于时间晶体的现象，仍然可以在周期性驱动的量子体系中存在[5-7]，被称为 “Floquet时间晶体”。Floquet（1847-1920）是法国数学家，他研究了参数在随时间周期变化下的系统运动方程。
理论工作的深入也推动了实验研究的进展[8-12]。
撰文｜吴从军（西湖大学物理学讲席教授）
责编｜邸利会
● ● ●
最近，在谷歌的量子计算模拟中，研究人员发现了时间晶体存在的证据 [13]。这个领域内还有很多有意义的方向值得进一步探索 [14,15]，这些研究将拓展人类对时间本质的认识，和对非平衡物质状态的理解。
那么，时间晶体到底是怎么一回事呢？
01
对 称
理解时间晶体，要先从 “对称性”（symmetry）和 “对称性自发破缺” （symmetry spontaneous breaking）讲起。这是凝聚态物理学乃至整个现代物理学的核心观念之一，也是物质的一个基本组织原理。
物质体系类似于人类 “社会”，体系内的各个粒子就像是社会里的 “公民”。粒子之间的相互作用导致它们不仅竞争而且合作，产生了各式各样的物质状态，简称物态。
美国物理学家菲利普·安德森（P. W. Anderson）在他的名篇《多者异也》（“More is different ”）中, 明确地阐述了 “呈展论”（Emergentism）的观点——
当系统中的粒子数大到宏观量级后，新的物态组织原理就开始涌现，而它们并不能根据少量粒子的行为简单地推测而来。
比如，对称性自发破缺就是体系中大量粒子相互作用的结果，而晶体和时间晶体与时空对称性及其破缺密切相关。
对称性， 顾名思义，指的是系统具有平衡的结构。最直观的例子是时空对称性。比如，把自由空间平移一段距离，它还是保持原样，这是空间均匀性的体现。用物理术语说，就是自由空间具有平移对称性。时间也是均匀的，体现出时间平移对称性。
因为对称性意味着体系在变换下不变，所以可以自然地推测，每个基本物理量的守恒律，都由一个体系的对称性来保障。这是现代物理学的一个重要的结论，被称为诺特（Nother）定理。比如，动量守恒是空间均匀性（也就是平移对称性）的结果；能量守恒是时间平移对称性的结果。
物理体系还可以具有抽象的内部对称性，导致更丰富的守恒律。比如，电荷守恒是U(1)对称性的结果。整体的对称性可以升级到局部变换下的对称性，这种升级版被称为 “规范对称性”（gauge symmetry）。规范对称性在高能物理中起着至关重要的作用，决定了标准模型中基本粒子间的相关作用形式。
对称性自发破缺的含义有两点。
其一是 “破缺”，指的是特定的状态可以不满足体系的对称性。比如，液态水具有空间平移不变性，其中水分子的分布在统计平均后是空间均匀的。但是当温度降低到冰点以下，冰是一种晶体，其中的水分子分布就不再是均匀的了，而是排成了晶格，不具有普遍的平移对称性。
其二是 “自发”，指的是对称性破缺后的状态不是唯一的。比如，把结晶后的晶格平移任意一段距离，就得到一个新的晶格位形，这和原先的晶格位形是等价的。体系在这些可能的位形中选择哪一个，则是由外界扰动等随机因素决定的。
当一个具体的晶格位形被确定后，从一个晶格位形转变到另外一个的几率趋于零。这是因为两个晶格位形之间存在着全局性的差别，不可能通过调整局部的原子结构，来使得晶格做宏观上整体的移动。用术语说，它们之间的势垒在宏观系统中趋于无穷高。所以，对称性自发破缺后的状态具有稳定性。
对称性自发破缺产生了长程有序。比如，在理想的晶体中，只要一个晶格原胞的位形确定了，其他位置的晶体位形就确定了，而不论相隔有多远。长程序的稳定性表现在所谓的 “广义刚度”。比如说，晶体可以承受一定范围内的剪切应力而维持其形状，而液体没有长程晶格序，不能保持固定的形状。
对称性自发破缺之后，仍然对系统的集体激发有重要的影响。晶体振动的集体模式是声波，量子化的形式被称为是声子。在波长趋于无穷长时，声波相当于晶体的整体移动。平移对称性要求声波频率在这个极限下趋于零，也就是无能隙的。这是所谓的古德斯通（Goldstone）零能模式的一个例子，可以被形象地理解成系统在试图恢复其已经被破缺了的对称性。
早在1930年代，现代凝聚态物理学的奠基人之一列夫·朗道（Lev Landau) ，开创了采用对称性自发破缺来描写相变的新范式。他提出了 “序参量”（order parameter）的概念来表征有序态。对应于晶格周期，晶体中粒子密度分布的傅里叶频谱有着特征的分布，可以作为晶格序的序参量。这个序参量在液体状态下为零。
此外，还有很多其他序参量的例子。比如，铁磁体的磁矩和铁电体的电偶极矩可以分别作为它们的序参量。自发磁化和自发电极化都有确定的方向，从而破缺了转动对称性。此外自发磁化还破缺了时间反演对称性，自发电极化还破缺了空间反演对称性。
对称性自发破缺在高能物理中也非常重要，比如希格斯（Higgs）玻色子就是由规范对称性的自发破缺而产生，这就是著名的 “Anderson-Higgs” 机制。
02
超越常识的想法
几乎所有常见的对称性都可以被自发破缺，产生相应的有序态。那么时间平移对称性可以被自发破缺吗？
维尔切克提出：如果一个系统的哈密顿量（简单地说，可以理解成能量，尽管并不严格）不依赖于时间，而且其基态可以自发地破缺时间平移对称性，从而基态中的物理量可以表现出时间上的周期振荡，那么则称之为 “时间晶体”。
这个想法超出了常识。
如果把能量和动量的依赖关系画作一条曲线，一般来说，它是光滑的。如果这样，在经典物理的框架下，系统在能量最低时处于静止状态，也就是说所有粒子的速度都为零。
为了绕开这个结论，维尔切克设计了一个有尖点的能量—动量曲线，这使得体系在能量最低时，仍然在运动 [1]。这种有奇异性的解，虽然不排除在原则上成立的可能性，但是在现实的体系里难以实现。
维尔切克接着提出了 “量子时间晶体” 的概念 [2]。
设想一个带电的粒子沿着一个圆环运动，圆环里有磁通。磁场可以用磁力线来形象地描述，而磁通就是通过圆环的磁力线的根数。在量子力学中，磁通会影响粒子速度，即使粒子处于基态，其速度仍然存在。但是在这种量子状态里，粒子均匀地弥散于整个环中，其位置不能被确定，这就使得粒子密度分布反而是静态的。
为了绕过这个困难，他转而考虑在圆环上放置大量的粒子，并假设它们是量子统计意义下的玻色子。玻色子可以发生玻色—爱因斯坦凝聚，如果它们之间的吸引力太强，凝聚体会塌缩成一个球。如果粒子数很大，球就像是一个经典的物体，就可以被定位。它沿着圆环的运动，使得粒子的空间分布表现出随时间的变化。
类似的想法已经在带电离子系统的实验中实现。带电离子在一维环上形成电荷密度波，也就是离子排成了晶格。实验上观察到，这个晶格在磁通的影响下转动了起来[10]。
可好事往往多磨，进一步的研究表明，上述的状态并不符合维尔切克对时间晶体最初的定义。Bruno证明了这样的状态，其实不是系统的基态 [3]，其能量比基态的要高。对于真正的基态，随着球中粒子数的增加到宏观量级，球的运动速度逐渐减小到零。
随后，H. Watanabe 和 M. Oshikawa 严格地证明了一个不可能（“no-go”）定理：如果系统的哈密顿量不依赖于时间，在相当普遍的条件下，系统的基态都不会是时间晶体 [4]。这个结论对有限温度的热平衡态也是成立的。维尔切克的时间晶体似乎无法实现了。
03
类似的时间晶体
好在，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。
以K. Sacha [5]，C. Nayak [6]，N. Y. Yao, A. Vishwanath [7]，R. Moessner 和S. L. Sondhi [8] 等为代表的多个研究团队发现，虽然最初的设想不可行，但是类似于时间晶体的物态—— “Floquet时间晶体”， 可以在周期性驱动的量子系统中实现。
一般来说，参量随时间周期变化的系统被称为Floquet系统，它们不具有一般的时间平移不变性，其能量不再守恒，也没有通常意义上的基态和热平衡态。然而，在Floquet系统中，仍然可以定义 “准能量本征态”。当系统处于准能量本征态时，其中物理量的振荡周期和驱动周期是一致的。
研究者们设想了一个空间一维的磁性系统，每个格点上存在一个自旋自由度，代表着该格点的磁矩。磁矩之间存在着相互作用，该相互作用在空间上是无序的。磁矩受到以磁场为代表的一些参量的驱动，而这些参量随时间呈周期性变化。所以说，这是一个Floquet系统。
研究者们发现，该系统的大部分的准能量本征态是类似于“薛定谔猫”的状态，由 “生态” 和 “死态” 两种状态迭加而成。
在 “生态” 中，磁矩在空间分布呈某种分布，而“死态”则是把“生态”中所有的磁矩都翻转了180度。
然而，这种准能量本征态是非常不稳定的，系统要演化到两个准能量本征态的迭加才会稳定下来。它们之间的量子干涉效应，使得体系在生态和死态之间振荡。一个驱动周期过后，“生态” 演化到 “死态”，还要再过一个周期，才从 “死态” 变回到 “生态”。
(a) “分立时间对称性自发破缺”导致的Floquet时间晶体态；(b) 施加含时扰动局部破坏周期驱动的周期性，导致不同Floquet时间晶体态之间的隧穿）| 图源：上海交通大学蔡子
如图(a)中所示，时间上平移一个驱动周期，系统的参量没有变，但是系统的状态变了。也就是说，磁矩的振荡周期是驱动周期的两倍。这样的状态，是一种新含义下的时间晶体，被称为 “Floquet时间晶体”。
这种新型的对称性自发破缺，被称为 “离散时间平移对称性的自发破缺”。把这个状态，在时间上平移一个驱动周期，则得到另外一个等价的Floquet时间晶体。
Floquet时间晶体要面对一个核心问题，即如何避免系统的热化。被驱动的系统，可以从驱动源吸收能量，在经过了很长的时间后，系统通常被热化到很高的温度。这样的话，就不会有对称性自发破缺了，也不会有量子相关性。
这个问题的解决基于 “多体局域化” 的概念 [8]。简单的说，量子多体系统可以处于被激发的状态，而且可以在长时间内，仍然保持量子相干性，而不是把能量耗散到体系中很多其他的状态中（物理术语叫 “退相干”）。
形象的说，这意味着 “多体局域化” 态和体系中其他的态相隔绝。作为统计物理和热力学基础之一的 “各态历经” 假设，对这类系统不再成立。
“多体局域化” 可以在一维空间无序的自旋链系统中实现，是相互作用和空间无序共同影响下的结果。如果系统处在多体局域化状态中，那么在合适的驱动参数下，就可以在 “生态” 和 “死态” 之间来回地翻转。系统仍然保持相干性，熵并没有增加。平均下来，体系没有从驱动源那里吸收净的能量。
这和非线性经典耗散系统中的倍周期响应有本质的不同。耗散的存在，使得系统的熵持续地增加。“时间晶体” 也表现出对称性自发破缺后应具有的稳定性。比如，如果驱动力有少许的随机偏差，磁矩振荡的“时间晶体”序还是稳定的。
Floquet时间晶体的理论图景，激发了实验物理学家们极大的兴趣，来实现这种新奇的物态。
实验的体系包括离子阱 [9,10] 和钻石 [11] 两类系统，都有可喜的进展。另一方面，Khemani, Sondhi, Moessner和Google悬铃木（Sycamore）团队另辟蹊径，对时间晶体进行了卓有成效的量子模拟 [12]。量子比特的两种状态模拟磁矩的上下方向，由超导量子器件实现。他们实现了一个20位量子比特的系统，用量子编程来控制系统的驱动和演化。
量子模拟的突出优势是在于可以容易地调节系统中的驱动参数、相互作用和空间无序。量子模拟可以实现 “多体局域化” 和 “多体退局域化” 两种物相，分别在其中测试在驱动下的响应。
研究团队观察到了系统在两个 “多体局域态” 之间翻转，也就是辗转于 “生态” 和 “死态” 之间。振荡周期也被验证是驱动周期的两倍，这正是Floquet时间晶体所要求的。Floquet时间晶体的稳定性，比如其对驱动力偏差的容忍，也在模拟中得到了证实。
04
局限的对称
目前，时间晶体研究所涉及到对称性模式还是非常局限的。事实上，凝聚体物理和超冷原子物理中有大量被驱动体系，比如激光驱动的晶格、动态的光子和声子晶体、动态的冷原子光晶格等。一类重要的动态系统具有时空周期性。它们没有表现出对称性自发破缺，所以不是时间晶体，为了区别，我们称之为 “动态晶体”。
在通常的研究框架中，动态晶体的时间和空间对称性被分开地处理。近年来，研究者把它们耦合起来，并构造了 “时空群”（space-time group）的数学结构对新的时空对称性进行分类 [13]。
正如每一种晶体结构都由一种空间群对称性决定一样，每一种动态晶体都由一种时空群对称性决定。已经发现在1 1维的时空（1维空间加1维时间）中，有13种时空群，而在2 1维时空中，有275种时空群。
体系可以表现出时空耦合的非点式对称性，包括时间螺旋轴对称性和时间滑移面对称性。前者的例子是时钟，时钟的指针破坏了转动对称性，但是其运动在旋转和时间平移的联合操作下不变；后者的例子是跷跷板，其运动在空间反射和时间平移半个周期的联合操作下保持不变。
可以设想把 “时空群” 对称性和 “时间晶体” 的研究结合起来，来思考如何自发地生成具有丰富对称性模式的 “时空群时间晶体”，这将是一个有趣的研究方向。
与对称性自发破缺密切相关的一个问题是相应的拓扑激发，也可以叫拓扑缺陷。比如，晶体中不同晶相间畴壁，就是晶格的拓扑缺陷。由 “分立时间对称性自发破缺” 所导致的Floquet时间晶体，具有不同但等价的状态（如图(a)中所示）。
上海交通大学蔡子研究组发现了这两个Floquet时间晶体位形之间的跃迁过程，可以形象地叫做 “隧穿” [14]。这个过程类比于晶体中晶相间的畴壁。他们考虑在系统的驱动力上加一些扰动，如果扰动的频率很高，则Floquet时间晶体仍然保持稳定。但是当扰动的频率低于一个临界频率时 ，系统可以从一个时间晶体态变到另外一个。这类似于量子力学里的隧穿过程，但是这个隧穿是发生在两个宏观的量子状态之间的。研究时间晶体中的拓扑缺陷或激发，也是研究非平衡物态的一个重要的方向。
05
时间的本质
时间晶体及相关研究对理解时间的本质有着重要的意义。
时间的本质是困扰历代物理学家和人文学家的重要问题。和空间相比，它总是表现得那么的不同。比如，古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus，约公元前530年—前470年）说过 “人不能两次踏入同一条河流”，说的是时间的单向性。这一点即使在相对论的四维时空观里，也没法被改变，尽管时空已经被统一成一个整体。
时间的平移对称性则是另外一个和空间的性质非常不同的地方。空间平移对称性很容易被自发地破缺，就像在晶体中发生的那样，而维尔切克所设想的连续时间对称性，至今都无法被自发破缺。Floquet时间晶体的研究至少表明了离散的时间对称性是可以被自发破缺的，从而迈出了第一步。
量子模拟对时间晶体的研究的推动，也有着很大的象征意义。这表明量子模拟已经可以对当代物理学的量子多体物理的研究起到实质性的作用了。量子模拟也拓展了物理实验研究的范围，它使得物理学家有望不再受限于真实的实验系统，可以在更广阔的范围内研究新奇的物态。
至于时间晶体的应用前景，诚实地说，目前还不清楚其有什么实际的用途。
基础科学研究探索的驱动力是对未知世界的好奇，这是需要被尊重的科学发展的一般规律。比如，在18世纪，富兰克林（B. Franklin）曾冒着生命危险用风筝追逐闪电，他是要验证天上的电和是实验室里莱顿瓶里的电是否是一回事。在那个时候，除了让物理学家和化学家着迷以外，电还远没有什么实际的用处。
可以设想，对时间本质的研究，将极大地深化人类对自然的认知，进而增强改造自然的能力。
参考资料
[1]A. Shapere and F. Wilczek, “Classical time crystals”, Phys. Rev. Lett. 109, 160402 (2012).
[2]F. Wilczek, “Quantum time crystals”, Phys. Rev. Lett. 109, 160401(2012).
[3]P. Bruno, “Impossibility of spontaneously rotating time crystals: a no-go theorem”, Phys. Rev. Lett. 111, 070402 (2013).
[4]H. Watanabe and M. Oshikawa, “Absence of quantum time crystals”, Phys. Rev. Lett. 114 251603 (2015).
[5]K. Sacha, “Modeling spontaneous breaking of time-translation symmetry”， Phys. Rev. A 91, 033617 (2015).
[6]D.V. Else , B. Bauer , and C. Nayak, “Floquet time crystals”, Phys. Rev. Lett. 117, 090402 (2016).
[7]N. Y. Yao, A. C. Potter, I-D Potirniche, and A. Vishwanath, “Discrete time crystals: rigidity, criticality, and realizations”, Phys. Rev. Lett. 118, 030401(2017).
[8]V. Khemani, A. Lazarides, R. Moessner and S. L.Sondhi, “Phase structure of driven quantum systems”, Phys. Rev. Lett. 116, 250401 (2016).
[9]J. Zhang, P. W. Hess, A. Kyprianidis, P. Becker, A. Lee, J. Smith, G. Pagano, I.-D. Potirniche, A. C. Potter, A. Vishwanath, N. Y. Yao, C. Monroe , “Observation of a discrete time crystal”, Nature 543, 217–220 (2017).
[10]T. Li, Z.-X. Gong, Z.-Q. Yin, H. T. Quan, X. Yin, P. Zhang, L.-M. Duan, and X. Zhang, Phys. Rev. Lett. 109, 163001 (2012).
[11]A. Kyprianidis， F. Machado，W. Morong, P. Becker, K. S. Collins, D. V. Else, L. Feng,
P. W. Hess, C. Nayak, G. Pagano，N.Y.Yao, C. Monroe, Observation of a prethermal discrete time crystal, Science 372, 1192-1196 (2021).
[12]J. Randall, C. E. Bradley, F. V. van der Gronden, A. Galicia, M. H. Abobeih, M. Markham, D. J. Twitchen, F. Machado, N. Y. Yao, T. H. Taminiau, “Observation of a many-body-localized discrete time crystal with a programmable spin-based quantum simulator”, arXiv:2107.00736.
[13]Google Quantum AI and collaborations, “Observation of Time-Crystalline Eigenstate Order on a Quantum Processor”, arXiv:2107.13571.
[14]Shenglong Xu, Congjun Wu, “Space-time crystal and space-time group”, Phys. Rev. Lett. 120, 096401 (2018)
[15]Xiaoqin Yang and Zi Cai, “Dynamical transitions and critical behavior between discrete time crystal phases”，Phys. Rev. Lett. 126, 020602 (2021)
