每日一题第四天(做精选的1道题,能够顶得上N道题)今天给大家分享的问题是一个综合了函数性质、定义域、值域、方程的根、曲线交点、切线、数形结合思想等问题的函数综合题。
题目如下:
分析:
这个题目乍一看,感觉似乎无从下手,但是发现f (x)实际上为一个单调递增函数,由a<b,知f (a)< f (b),因此必有f (a)=a,f (b)=b,由此问题转化为f (x)=x有两个根时m的取值范围问题。下面给出完整的解答。
显然,f1(x)的图像为一开口向右的抛物线(上半支),而f2 (x)的图像为一组斜率为1的直线,于是,问题转化为f1(x)的图像和f2(x)的图像有两个相异交点。
抛物线和直线簇的相对位置关系如下图所示:
显然,m的值就是斜率为1的直线在y轴截距的相反数,因此位置越靠左的直线对应的m值越小,而越靠右的直线对应的m值越大。依题意,函数图像有两个交点,因此直线须介于图示两直线位置之间。
(1)m的最小值
当斜率为1的直线经过(-2,0)时,此时直线方程为y=x 2,m可以取到最大值-2。
(2)m取值的上界