【知识点】周期余数:
1.题型特征:出现循环或周期,问第/过N个(天、年)。是循环分布的,比如ABCDABCD……。注意区分“第”和“过”,二者是有区别的。
2.补例1:1月1号是星期一,问1月份第16天(1月16号)是星期几?
答:16天可以挨个数,但如果是第300天就不能数,可以按照整周期考虑,将 16 天按照 7 天一个周期去数,16/7=2……2,因此第 16 天等价于第 2 天(后边的余数)。起点是1月1号,是周一;第二天是1月2号,是周二,因此本题答案是周二。
3.解题思路:
(1)找周期:确定周期的起点和长度。比如补例1中,起点是1月1日,周一;长度是一周的长度,7天。
(2)算余数:总数(N)÷周期=m个周期…余数(n)。要求的是第16天, 16/7=2 个周期……2 天,即第 2 天。
(3)做等价:第N项就等价于该周期的第n项;过N天就等价于该周期的 过n天。等价于余数,第16天等价于第2天,第一天是1月1号,周一,第二 天为1月2号,周二。大数不会数,但是等价于一周以内就比较好数。
4.补例2:1月1号是星期一,问再过16天是星期几?
答:起点是 1 月 1 号,周一,长度是一周 7 天。过 16 天/7=2 个……2 天,过 16 天等价于过 2 天,从起点开始,1 月 1 号是周一,过 1 天是周二,过 2 天是周三。从起点开始,如果是“第”,则余数是第几天;如果是“过”,则余数是过几天。
5.注意:
(1)如果是整除,相当于余0,和余周期数是一样的,即周期的最后一天。
(2)过n天=第n 1天,比如过1天,相当于第2天。
【知识点】周期相遇:
1.题型特征:出现多个小周期,求再次相遇。
2.解题思想:找多个小周期的最小公倍数。
3.补例:小刘每2天去一次图书馆,小凯每3天去一次图书馆,8月1日两人同时去了图书馆,问下一次两人同时去图书馆的日期?
答:出现两个小周期,求再次相遇日期,小刘每次去都是2的倍数,小凯每次去都是3的倍数,两人同时去,则既满足2的倍数又满足3的倍数,即多个小周期的最小周期——6的倍数,6天去一次,8月1日~8月6日是一个周期,下一次去是8月7日(过6天)。 过6天相当于第7天,不理解可以画图,小刘是8月1日、8月3日、8月5日、8月7日去,小凯是8月1日、8月4日、8月7日去,两人第一次同时去是8月1日,下次同时去是过了6天,即第7天。
4.注意点:两次相遇之间是过了一个完整周期。
5.难点:这种题目的难点是周期相遇和周期余数结合考查。
【注意】1.每隔 n 天=每(n 1)天。
【知识点】短周期:
1.识别:周期较短(一个月左右)。
2.做法:枚举。
【注意】1.短周期(一个月左右)问题最好画图,找周期思维量比较大。
【小结】周期问题:
1.周期余数:
(1)识别:出现循环或周期,问第/过N个。
(2)做法:明确周期→计算余数→确定结果。
(3)注意:①起点;②第和过。
2.周期相遇:
(1)识别:出现多个小周期,问再次相遇。
(2)做法:最小公倍数。
(3)注意:每隔n天=每(n 1)天。
3.短周期:
(1)识别:周期较短(小于一个月或者一个月左右)。
(2)做法:枚举。
第八节 容斥原理
【知识点】容斥原理:难点是公式的理解,理解透彻则不难,否则会觉得比较复杂。类似高中(高一)学习的集合问题,但是我们学习的比高中简单。
1.容斥原理本质:去重补漏。多了去掉,少了补上。
2.考查类型:两集合容斥原理;三集合容斥原理。
3.解题方法:公式法;画图法。
4.两集合容斥原理:看到两集合,有交叉、重叠,即图中中间的位置,为两集合容斥原理问题。
(1)理解:将框架理解为窗框,要想给窗框糊窗户纸,只能有一层,先糊A,再糊 B,为 A B,则中间位置有两层,需要揭掉一层 AB,为 A B-AB,此时还差外围都不满足的需要加上,得到A B-AB 都不=总数。
(2)公式:A B-AB 都不=总数。
【注意】1.画图法:题目中所给或所求公式里没有,公式法不好用(往往是出现只满足某一个条件)。
2.只要题目没有具体数据,都可以赋值(90%以上的题目)。
【知识点】三集合标准型公式:
1.判定:分别给出两两集合的交集(既A又B、既A又C、既B又C)。给的都是“既……又……”的关系,有的时候没有“既……又……”这两个字,可以自行补上,对题目没有影响。
2.公式:A B C-AB-AC-BC ABC 都不=总数。
【知识点】三集合非标准型公式:
1.判定:统一给出或求解只满足两种(满足两种)。注意:数学中只满足两种和满足两种是一样的,都不包含三种的情况。
2.公式:A B C-满足两项-2*满足三项 都不=总数。
3.区分:只要看“满足两种”是否包含“满足三种”的情况,如果包含,是标准型;如果不包含,是非标准型
【注意】三集合标准型与非标准型的区分:
1.标准型判定:分别给出两两集合的交集(既A又B、既A又C、既B又C)。
2.非标准型判定:统一给出或求解只满足两种(满足两种)。整体已经是三者加和的形式。
3.本质区分:看有没有包含“三个都满足”,
4.推导的时候,标准公式:-AB、-AC、-BC 的时候,还减掉了三层的部分,共减掉的三次,因此需要加上一次ABC;非标公式:满足两项是如图红色的区域,此时还没有减去三层的,要再减去两次三层的。
【知识点】容斥原理的方法选择:能用公式用公式,不能用公式就画图。
1.公式法:题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法:题目中所给所求公式里没有,公式法不好用(往往是出现只满足某一个条件)。
3.画图法三步走:出现“只满足某一个条件”时运用。
(1)第一步,画圈圈:两集合画两圈,三集合画三圈。
(2)第二步,标数字(从里到外,注意去重):先标最中间,最中间的定了才能标外围。
(3)第三步,列算式。
【小结】容斥原理:
1.公式:
(1)两集合(比较简单):A B-AB=总数-都不。
(2)三集合:
①标准型(分开给):A B C-AB-AC-BC ABC=总数-都不。
②非标准型(一起给):A B C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。
③常识公式(要么满足一项,要么满足两项,要么满足三项):满足一项 满足两项 满足三项=总数-都不。
2.画图(出现只满足某一个条件):
(1)画圈圈,标数据。
(2)从里到外,注意去重。
第九节 经济利润
1.常用公式:
(1)利润=售价-进价。
(2)利润率=利润/进价=利润/成本。
(3)售价=进价 利润=进价 进价*利润率=进价*(1 利润率)。
(4)折扣=折后价/折前价。八折为原价的80%,五折为原价的50%。
(5)总价=单价*数量;总利润=单个利润*数量。
(6)资料分析中利润率=利润/收入,数量关系中利润率=利润/进价,分母不同,因为成本比较难核算,因此资料分析中都是除以收入。
(7)经济利润平均每年考查1道,深圳平均每年考查2道,2019年深圳考查了4道。
2.常考类型:前两类考查比较多。
(1)基础经济。
(2)分段计费。
(3)函数最值。
一、基础经济
1.解题方法选择:
(1)已知具体价格,求具体价格(利润、成本、售价):列式、列方程。
(2)已知比例,求比例(利润率、折扣):没有具体数值,赋值法。
2.经济利润问题中档题居多,难题不会考查,但是计算量比较大,或者可能会有小坑。
二、分段计费
1.题型判定:生活中水电费、出租车计费、税费等,每段计费不同。问:在不同收费标准下,一共需要的费用?
2.计算方法:
(1)按标准,分开。
(3)计算后,汇总。
3.补例:某地出租车收费标准为:3公里内8元,超出3公里,每公里2元,小刘坐车行驶10公里,共花费多少钱?
答:方法一:假设路程为 S,当 S≤3km 为 8 元;当 S>3km,每公里 2 元。 10 公里超过了 3 公里,因此先交 8 元。超出 10-3=7 公里,每公里 2 元,列式:8 (10-3)*2=8 14=22 元。
方法二:画线段。0~3公里为8元,S>3公里时2元/公里。
三、函数最值
【知识点】函数最值:开始看着比较可怕,但技巧性比较强。
1.题型判定:单价和销量此消彼长,问何时总价/总利润最高?
2.计算方法(两点式):设提价次数为x。
(1)令总价/总利润为 0,解得 x1、x2。
(2)当 x=(x1 x2)/2 时,取得最值。
【小结】经济利润:
1.基础经济(考查较多):
(1)公式:
①利润=售价-进价。
②利润率=利润/进价。
③折扣=折后价/折前价。
④总价=单价*个数。
(2)方法:公式法、赋值法(a=b*c三个量只知其一)。
2.分段计费(考查比较少):
(1)水电费、出租车费、税费等。
(2)分段计算、汇总求和。
3.函数最值:找 x1、x2。
(1)识别:
①单价和数量此消彼长。
②求最大利润或售价。
(2)方法:两点式。