直方图的中位数怎么求,直方图中的中位数怎样求

——用样本的数字特征估计总体数字特征（第1课时）课例赏析

王 丹（湖北省鄂南高级中学）

周远方（湖北省教育科学研究院）

摘要：本课例是一个集概念性、探究性和应用性于一体的教学案例．围绕制定节水标准问题，在利用直方图估计众数、中位数、平均数（简称“三数”）的过程中，引导学生分组探究、合作交流、自主决策，逐步完善解决问题的途径，在层层探索之中暴露学生的思维过程，激发学生的探究*，培养学生的统计思维．

关键词：直方图；样本估计总体；数字特征；统计思维

一、引言

本节课内容是一节典型的概念课，是在前面已经学习了抽样方法、用样本的频率分布估计总体分布的基础上，为了更好地把握总体的规律，进一步挖掘样本，利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而作出更好的决策，以解决实际问题．这样，既能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，又能提高解决实际问题的能力．

本节课因教学容量大，实用性强，要求学生参与度高，因此，课前，让学生以小组为单位，利用excel学会制作样本频率分布直方图，并回顾众数、中位数、平均数等有关概念．课上，采用问题驱动和启发探究的教学模式，始终以学生为主体，通过设置问题串，激发学生的学习兴趣，鼓励学生探究、合作和交流，引导学生分析、解决典型问题并提炼方法，帮助学生建立新的认知结构，让统计思想自然诞生在学生的探究过程中，教师仅起到“助产士”的作用．同时，在探究过程中，采用多媒体教学，突出活动的组织与思想方法的引导，在师生共同搭建的分组合作与互动探究的平台上，突出重点：利用频率分布直方图估计样本数字特征（样本的“三数”），并利用它们估计总体数字特征（总体的“三数”），进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识；也突破难点：如何从样本频率分布直方图中提取样本数字特征，统计思维的建立．课尾，采用以退为进的方式，通过减小样本，提出如何进一步描述样本数据的离散程度，为下节课学习标准差做好铺垫．

二、课堂实录

1．设置情境，提出问题

创设情境（多媒体出示缺水图片）：近年来，由于气候恶化，我国很多地方干旱缺水，导致土地干裂，牲畜饮水困难，小麦等农作物枯死，颗粒无收，人们的正常生活受到严重威胁；而另一方面，有人肆无忌惮地浪费珍贵的水资源，所以节约用水刻不容缓，人人有责!那么如何才能将节约用水落到实处呢?

生1：我们最好定一个标准，限制每个居民的月均用水量．

师：这个想法不错，那我们现在就来谈一个热点话题―阶梯水价．

提出问题：咸宁市政府为了节约生活用水，计划于2015年在本市城区（20万人）试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水标准

，用水量不超过

的按平价收费，超出

的部分按议价收费．为了不影响大部分居民的日常生活，那么标准

定为多少比较合理呢?

【评析】开头通过图片震撼的视觉效果，迅速抓住学生的注意力，其直接作用是激发了学生的学习兴趣，更深层次的用意是让学生感悟数学从生活中来，明确研制居民用水标准的必要性，使得导入过程自然．

2．分析问题，明确思路

生2：能求出城区居民月均用水量这个总体的数字特征就好了，再来制定标准a．

生3：直接求总体的数字特征不现实，因为总体的容量太大，每个人的月均用水量难以一一获得，即使获得，计算起来也是比较麻烦的．

师：那怎么办呢?

生3：抽样，用样本的数字特征估计总体的数字特征，再来制定标准a．

生4：我赞同生3的看法，这种方法可行．

师：大家认为呢？

生：可行！

师：这是可行的．这就是统计思想，从特殊到一般．也是我们这节课学习的主要内容——用样本的数字特征估计总体的数字特征．咸宁市政府通过抽样，获得了100位居民在2014年前三个季度的月均用水量（单位：t）．100位居民的月均用水量（单位：t）如下：

问题1：理论上抽取100个样本数据是远远不够的，但为了课堂上计算的方便，我们只抽取了100个样本数据.上节课已经绘制出了相应的频率分布直方图（图1），能否从直方图中直接提取样本数字特征呢？进而用样本的数字特征估计总体的数字特征．

展示与交流1：

生5：我们小组算出的众数是2.25t，也就是最高小矩形底边的中点（图2）．大家有没有意见？

生5：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，也就是出现频率最高的数，而在直方图中，每个小矩形的面积表示相应小组的频率，所以众数出现在最高的小矩形中．

生6：为什么取中点？众数只是集中在2～2.5这一段上，但并没有说就是2.25．

生5：是的，2～2.5这一段上的其它值也有可能成为众数，但2.25这个中间值更具代表性．

生6：有道理．

生5：还有其他意见吗？

生7：我认为众数不一定落在2～2.5这一段上．

生5：能举个反例吗?

生7：万一集中在2～2.5中的数据很分散，比如2.01，2.02，2.03…，总之没有两个一样的，而在1.5～2这一段中却始终是1.7，虽然2～2. 5这一段的数据还是比1～1.5这一段的数据多，但众数有可能落在1.5～2中，这样你们判断的众数可能就会失误．

生5：那我下去以后再想一下。

师：大家的讨论非常精彩．有的同学可能还不理解生７的说法，我们来看这样一组样本数据（单位t）：1，3，3，3，3，5，5，5，6，6，以2为组距，制出相应直方图（图3），按照生5的说法，由直方图求出的众数落在4～6这一段上，为5t；而按照生7的说法，样本的众数为3t，落在2～4这一段上．

生8：这种情况是怎样造成的呢?

生9：主要原因是直方图丢失了原来的具体数据，求出的只是众数的估计值．

生8：我们能减少误差吗?

生9：可以，由样本制取直方图的过程中，缩短组距．

生8：能完全避免误差吗?

生9：不可能．

生8：那我们为什么还要从直方图中计算样本的众数呢?

生9：因为直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明样本的分布形态，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．另外，由直方图求众数也比较快捷．

师：那我们现在选哪一个作为众数好呢?

生10：还是选2.25，这符合我们大多数人的习惯．

师：大家的意见呢？

生：取2.25．

师：那我们就取2.25作为众数．通过上面的讨论过程，我们发现由直方图求出的众数是一个估计值，可能会有偏差．我们将众数看作直方图中面积最大矩形的“中心”，它是一组数据的最大集中点，此时它告诉我们，咸宁市城区月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其他值的居民多，但它并没有告诉我们多多少，所以，我们有必要通过直方图考察其他两个数字特征．

探究2：如何在频率分布直方图中估计中位数？