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专题七 坐标系与参数方程二轮复习学案
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系 Ox中，A(2，0)，B2，π
4 ，C2，3π
4 ，D(2，
π)，弧AB︵
，BC︵
，CD︵
所在圆的圆心分别是(1，0)，1，π
2 ，(1，π)，曲线 M1是弧AB︵
，曲线
M2是弧BC︵
，曲线 M3是弧CD︵
.
(1)分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线 M由 M1，M2，M3构成，若点 P在 M上，且|OP|＝ 3，求 P的极坐标．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为
x＝1－t2
1＋t2，
y＝ 4t1＋t2
(t为参
数)．以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 2ρcos
θ＋ 3ρsin θ＋11＝0.
(1)求 C和 l的直角坐标方程；
(2)求 C上的点到 l距离的最小值．
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1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是
简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．
2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注
意转化思想的应用．
极坐标方程及其应用
[典型例题]
(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点 M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线 C：ρ
＝4sin θ上，直线 l过点 A(4，0)且与 OM垂直，垂足为 P.
(1)当θ0＝π3时，求ρ0及 l的极坐标方程；
(2)当 M在 C上运动且 P在线段 OM上时，求 P点轨迹的极坐标方程．
[对点训练]
1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系 xOy中，直线 l1：x＝0，圆 C：(x－1)2＋(y－1－ 2)2
＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线 l1和圆 C的极坐标方程；
(2)若直线 l2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设 l1，l2与圆 C的公共点分别为 A，B，求△OAB
的面积．
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2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求 C2的直角坐标方程；
(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程．
参数方程及其应用
[典型例题]
(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为x＝2cos θ，
y＝4sin θ(θ
为参数)，直线 l的参数方程为x＝1＋tcos α，
y＝2＋tsin α(t为参数)．
(1)求 C和 l的直角坐标方程；
(2)若曲线 C截直线 l所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l的斜率．
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[对点训练]
1．已知曲线 C：x2
4＋y2
9＝1，直线 l：
x＝2＋t，
y＝2－2t(t为参数)．
(1)写出曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程；
(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30°的直线，交 l于点 A，求|PA|的最大值与最小
值．
2．在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为x＝4cos θ
y＝2sin θ(θ为参数)，直线 l的参数方
程为x＝t＋ 3，
y＝2t－2 3(t为参数)，直线 l与曲线 C交于 A，B两点．
(1)求|AB|的值；
(2)若 F为曲线 C的左焦点，求FA→·FB→的值．
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极坐标方程与参数方程的综合应用
[典型例题]
(2019·福建省质量检查 )在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x＝1＋35t，
y＝1＋45t
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的
极坐标方程为ρ2＝ 21＋sin2θ
，点 P的极坐标为( 2，π4)．
(1)求 C的直角坐标方程和 P的直角坐标；
(2)(一题多解)设 l与 C交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M，求|PM|.
[对点训练]
1． (2019·石家庄市模拟 (一 ))在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝rcos α＋2
y＝rsin α(α为参数)，以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l
的极坐标方程为θ＝π3.
(1)求曲线 C的极坐标方程；
(2)当 0<r<2时，若曲线 C与射线 l交于 A，B两点，求 1|OA|
＋1
|OB|的取值范围．
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2．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内
异于 O的三点 A(ρ1，φ)，B(ρ2，φ＋π6)，C(ρ3，φ－
π6)(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线 M上．
(1)求证： 3ρ1＝ρ2＋ρ3；
(2)若过 B，C两点的直线的参数方程为
x＝2－ 32t
y＝12t
(t为参数)，求四边形 OBAC的面积．
1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1的倾斜角为 30°，
且经过点 A(2，1)．以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2：ρcos θ
＝3.从坐标原点 O作射线交 l2于点 M，点 N为射线 OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点
N的轨迹为曲线 C.
(1)写出直线 l1的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；
(2)设直线 l1与曲线 C交于 P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．
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2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2t
y＝t2(其
中 t为参数)．以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，
曲线 C2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.
(1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；
(2)过 P(0，1)的直线 l交曲线 C1于 A，B两点，当|PA|·|PB|＝8时，求直线 l的倾斜角．
3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cos t
y＝sin2t(t
为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为
ρ(sin θ－acos θ)＝12(a∈R)．
(1)写出曲线 C1的普通方程和直线 C2的直角坐标方程；
(2)若直线 C2与曲线 C1有两个不同的交点，求 a的取值范围．
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4． (2019·湖南省湘东六校联考 )在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x＝7－t，
y＝－2＋t(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ
＝4 2sin(θ＋π4)．
(1)求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；
(2)设曲线 C与直线 l的交点为 A，B，Q是曲线 C上的动点，求△ABQ面积的最大值．
5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线 l的参数方程为
x＝ 32t
y＝a＋12t(t为参数，其中 a>0)，直线 l与曲线 C相交于 M，N两点．
(1)求曲线 C的直角坐标方程；
(2)若点 P(0，a)满足 1|PM|
＋1
|PN|＝4，求 a的值．
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6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1：x＝a＋acos φ，
y＝asin φ(φ为参
数，实数 a>0)，曲线 C2：x＝bcos φ，
y＝b＋bsin φ(φ为参数，实数 b>0)．在以坐标原点 O为极点，x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与 C1交于 O，A两点，与
C2交于 O，B两点，当α＝0时，|OA|＝1；当α＝π2时，|OB|＝2.
(1)求 a，b的值；
(2)求 2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．
7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线 C的参数方程为x＝ 10
2cos α
y＝sin α(α为参数)，以
平面直角坐标系的原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C的极坐标方程；
(2)P，Q为曲线 C上两点，若OP→ ·OQ→＝0，求|OP→ |2·|OQ→ |2
|OP→ |2＋|OQ→ |2的值．
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8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系 xOy中，以 O为极点，x轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线 l的参数方
程为
x＝－2＋ 22t
y＝ 22t
(t为参数)，直线 l与曲线 C交于 M，N两点．
(1)若点 P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；
(2)求曲线 C的内接矩形周长的最大值．
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1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1的倾斜角为 30°，
且经过点 A(2，1)．以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2：ρcos θ
＝3.从坐标原点 O作射线交 l2于点 M，点 N为射线 OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点
N的轨迹为曲线 C.
(1)写出直线 l1的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；
(2)设直线 l1与曲线 C交于 P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．
2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2t
y＝t2(其
中 t为参数)．以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，
曲线 C2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.
(1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；
(2)过 P(0，1)的直线 l交曲线 C1于 A，B两点，当|PA|·|PB|＝8时，求直线 l的倾斜角．
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3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为x＝cos t
y＝sin2t(t
为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为
ρ(sin θ－acos θ)＝12(a∈R)．
(1)写出曲线 C1的普通方程和直线 C2的直角坐标方程；
(2)若直线 C2与曲线 C1有两个不同的交点，求 a的取值范围．
4． (2019·湖南省湘东六校联考 )在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x＝7－t，
y＝－2＋t(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ
＝4 2sin(θ＋π4)．
(1)求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；
(2)设曲线 C与直线 l的交点为 A，B，Q是曲线 C上的动点，求△ABQ面积的最大值．
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5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线 l的参数方程为
x＝ 32t
y＝a＋12t(t为参数，其中 a>0)，直线 l与曲线 C相交于 M，N两点．
(1)求曲线 C的直角坐标方程；
(2)若点 P(0，a)满足 1|PM|
＋1
|PN|＝4，求 a的值．
6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1：x＝a＋acos φ，
y＝asin φ(φ为参
数，实数 a>0)，曲线 C2：x＝bcos φ，
y＝b＋bsin φ(φ为参数，实数 b>0)．在以坐标原点 O为极点，x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与 C1交于 O，A两点，与
C2交于 O，B两点，当α＝0时，|OA|＝1；当α＝π2时，|OB|＝2.
(1)求 a，b的值；
(2)求 2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．
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7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线 C的参数方程为x＝ 10
2cos α
y＝sin α(α为参数)，以
平面直角坐标系的原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C的极坐标方程；
(2)P，Q为曲线 C上两点，若OP→ ·OQ→＝0，求|OP→ |2·|OQ→ |2
|OP→ |2＋|OQ→ |2的值．
8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系 xOy中，以 O为极点，x轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线 l的参数方
程为
x＝－2＋ 22t
y＝ 22t
(t为参数)，直线 l与曲线 C交于 M，N两点．
(1)若点 P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；
(2)求曲线 C的内接矩形周长的最大值．
