一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形:有两条腰相等的梯形;直角梯形:有一个角是直角的梯形 。
一、从一底的两端,向另一底作垂线,构造矩形和三角形
例题1、如图,在梯形 ABCD 中 ,
例题1图
过点 A、D 分别作 AE⊥BC、DF⊥BC ,垂足为点 E、F ,则 AE = DF = h(h为梯形ABCD的高) 。
求证:S梯形ABCD = 1/2 (AD BC)· h
证明:
∵ S梯形ABCD = S△AEB S矩形AEFD S△DFC
S△AEB = 1/2 BE · h , S矩形AEFD = EF · h , S△DFC = 1/2 FC · h ;
∴ S梯形ABCD = 1/2 BE · h EF · h 1/2 FC · h
= 1/2 BE · h 1/2 ( AD EF) · h 1/2 FC · h
= 1/2 (AD BC)· h
二、平移一腰,将梯形分为一个平行四边形和一个三角形
例题2、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC ,AB = CD ,∠C = 60° ,AD = 15 ,BC = 49 ,求 CD 的长?
例题2图
解:过点 A 作 AE∥CD ,交 BC 于点 E ,则四边形 AECD 为平行四边形
∵ 四边形 AECD 为平行四边形
∴ AE = CD = AB ,∠AEB = ∠C = 60° , AD = EC
∴ △ABE 为等边三角形
∴ CD = BE = BC - EC = 49 - 15 = 34
三、延长梯形的两腰交于一点,构造三角形和梯形
例题3、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC ,∠B = 50°,∠C = 80° ,AD = 5 , BC = 8 ,求 CD 的长?
例题3图
解:延长 BA 和 CD 交于点 E ,在 △EBC 中
∵ ∠E ∠B ∠C = 180° (三角形内角和定理)
∴ ∠E = 180° - 50° - 80° = 50° = ∠B
∵ 在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC
∴ ∠EAD = ∠B = ∠E
∴ △EAD 和 △EBC 都是等腰三角形
∴ ED = AD , EC = BC
∴ CD = EC - ED = BC - AD = 8 - 5 = 3
四、平移对角线,将梯形转化为三角形
例题4、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC ,AC = 15 , BD = 20 , 高 DH = 12 ,求梯形 ABCD 的面积 ?
例题4图
解:过点 D 作 DE∥AC ,交 BC 延长线于点 E ,则四边形 ACED 为平行四边形
∵ S△BAD = S△CAD = S△DCE (等底同高,高是 DH)
∴ S梯形ABCD = S△DBE
在 Rt△BHD 中 ,由勾股定理得:
BH^2 = BD^2 - DH^2 = 20^2 - 12^2 = 16 ^2;
所以 BH = 16
在 Rt△DHE 中 ,由勾股定理得:
EH^2 = DE^2 - DH^2 = 15^2 - 12^2 = 81;
所以 EH = 9
∴ S梯形ABCD = S△DBE = 1/2 × DH × BE =1/2 × 12 × 25 = 150
五、连接一个顶点与另一腰中点并延长交另一底的延长线于一点
例题5、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC ,点 H 为 CD 的中点,AB = AD BC ;
求证:BH 平分∠ABC 。
例题5图
证明:
连接 AH 并延长交 BC 延长线于点 E
在 △AHD 和 △EHC 中
∵ AD∥BC ∴ ∠DAH = ∠E
∵ H 为 CD 的中点,∴ DH = CH
∵ ∠AHD = ∠EHC (对顶角相等)
∴ △AHD ≌ △EHC (AAS)
∴ AD = CE ,AH = EH
∵ AB = AD BC , BE = BC CE
∴ AB = BE,即 △ABE 为等腰三角形
∴ BH 平分∠ABC (等腰三角形中三线合一)
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