怎么判断是不是排列问题,排列定序问题及解决方法



排列组合这部分内容，我认为是高中数学里最好的内容，因为它对学生的逻辑思维能力和处理优化能力的锻炼非常有益。

这部分内容，练好了脑子是最简单的，脑子练得不达标就是最容易错的。

排列组合的基础是计数原理。

完成一类事有n类不同方案，每种不同方案下又有多种不同的方法，无论是哪种方案下的哪种方法，都可以独立的完成这件事，像这种事件我们用加法计数原理计算。

例1：市二中高三年级共有3个班，各班人数如下表：

（1） 从3个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？

（2） 从一班、二班的男生中或三班的女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？

答案：（1）50 60 55=165；（2）30 30 20=80。

完成一件事需要n个步骤，每个步骤又有多种不同选择，必须每个步骤都经过才能完成这件事，像这样的事件我们用乘法计数原理计算。

例2：朱友生不满意“自古华山一条路”的说法，于是花费自己的毕生积蓄包了一座山，改名“画山”，并对“画山”进行改造，在东面开凿出2条路，在西面开凿出3条路，在南面开凿出3条路，在北面开凿出4条路。若要从四个方向中任一方向上山，从剩下的三个方向中任一方向下山，如何上下山走法最多（ ）

A，从东边上山； B，从西面上山； C，从北面上山； D，从南面上山。

解析：如果从东边上山，则上山有2种选择，下山有10种选择，则总的配合有2*10=20种；

如果从西边或南边上山，则上山有3种选择，下山有9种选择，则总的配合有3*9=27种；

如果从北边上山，则上山有4种选择，下山有8种选择，则总的配合有4*8=32种。

所以，这道题答案选C。

从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同元素中取m个元素的一个排列。

从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做n个不同元素中取m个元素的一个组合。

排列和组合最大的不同就是顺序对最后结果到底有没有影响，有影响的是排列，没影响的是组合。

举个例子：初中最经典的题。

例3：（1）你们班有50个同学，马上毕业了，大家要互相在纪念册上签名留念，问一共要签多少个名？

想一想，我给你签了名之后，你要不要给我签名呢？

我们之间是不是要相互签名呀？

相互就是顺序的意思，因此这是个排列问题。

答案是50*49=2450。

（2）还是你们班的50个同学，今天是大家聚在一起的最后一天了，大家相互拥抱一下吧，那么一共要抱多少次呢？

想一想，我抱了你一下，你要不要还我一下？

如果我抱了你你要还我，那我再还你，咱俩抱来抱去，不用回家了，直接去民政局吧。

所以，两人之间只要抱一次就行了，这是个组合问题。

答案是50*49/2=1225。

再举个例子：

例4：让大家操透了心的国足。

（1）中国男子足球超级联赛（简称中超）中，采取“主客场制”（即两个球队分别作为主队和客队各比赛一场），到今天为止的规则是共有16支球队参赛，则共需进行几场比赛？

（2）在“2018年世界杯”足球赛中，采取“分组循环淘汰制”。全世界共有32支经过层层选拔的优秀球队参加，分为8个小组，每组4支球队进行组内循环，则在小组赛阶段共需进行几场比赛？

中超采取主客场，也就是两支球队每年要踢两场比赛，去你场地踢一场，来我场地踢一场，这就是相互顺序，因此这就是排列问题。

所以第（1）问答案为16*15=240。

世界杯，大家都聚在一起，不用你的场地也不用我的场地，而用第三方场地，这就无所谓主场客场了，两支球队之间踢一次就行了，因此这就是组合问题。

所以第（2）问答案为4*3/2*8=48。

最后举个例子：

例5：某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？

票价是按里程算的，两个车站之间走的是同一条铁路线，因此来回票价是一致的，这是个组合问题。

所以票价的答案为5*4/2=10。

但是车票就是排列问题了，你用从北京到南京的票绝对坐不成从南京到北京的车。

所以车票的答案为5*4=20。

好了，这节课的目标就是先分清楚什么时候用加法计数原理，什么时候用乘法计数原理；分清楚什么时候用排列，什么时候用组合。

下节课，我们讲排列组合的运算及其基础题型。

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