图 3: 用 MATLAB & Simulink 模拟的 3v3 机器人足球赛
一个优秀的球队，绝不是个人英雄主义者的球队，而是团队协作、默契配合地相互传球和进攻。那么如何从数据上定量描述团队协作、默契配合程度呢？图论或网络模型已经被成功用来研究涉及球员之间传球的团队运动。本文的目的是以实际案例说明如何运用网络理论来分析团队运动的统计信息，并给出提高团队胜率的建议。
模型
数据
本文建立网络模型所使用的数据来自文献 [3,4]。数据包含了哈士奇足球队整个赛季与 19 个对手球队的 38 场比赛数据（哈士奇与每个对手球队进行两场比赛）。数据涵盖了 366 名球员（30 名哈士奇球员, 336 名对手球员）之间的 23429 次传球，以及 59271 场比赛。数据包括比赛场次、球队编号、每次传球接球的队员编号和坐标、传球方式、传球时间。具体数据格式见附录 A。
网络模型
我们可以将每场比赛中的任意一个队一段时间内的传球定义为一个网络，该网络将以球员作为节点，球员间的传球作为边，并根据两球员之间成功完成的传球次数作为边的权重。图 4 为 2010 世界杯半决赛时荷兰队对战西班牙的传球网络，图 5 为 三名球员构成的传球网络及其邻接矩阵。
图 4: 荷兰队对战西班牙时的传球网络 [5]
图 5: 三名球员构成的传球网络及其邻接矩阵
本文参考文献 [6] 中的方法，以 100 次传球为一个网络单元，研究一段时间内传球网络的变化过程。第 1 次传球至第 100 次传球的时间段称为 ，对应的传球网络为，第 2 次至第 101 次传球的时间段称为 ，对应的传球网络为 ，依此类推，每次都是在上一个传球网络的基础上，去掉起始的传球，加入新的传球。选择 100 次传球作为网络单元的原因是：
- 通过测试，发现以 100 次传球为单元，可以使每一次的传球网络都包含 11 个球员，如果传球网络中纳入的传球次数太少，在网络中就会出现球员不完整的情况。
- 在保证网络包含所有球员的前提下，应该尽量减少网络中的传球次数，增大样本量，使结论更加可靠。
值得注意的是，在比赛过程中，存在替换队员的情况，本文主要研究网络，因此在队员替换后，新队员的数据仍然看作旧队员的。本文以哈士奇足球队的第一场比赛为例，模拟比赛球员之间传球网络随时间的变化过程，结果如图 6 所示。
图 6: 哈士奇球队传球网络随时间的变化过程
图中，11 个节点别代表 11 个球员，节点半径大小由球员的总接传球次数决定，节点坐标为球员在传球时的平均坐标。两节点间的弧（有向的边）表示两节点间存在传球，弧的方向表示传球的方向，弧的粗细表示传球次数。
网络参数
为了探究传球网络与比赛结果的关系，需要量化传球网络的参数。本文选取集聚系数、球队进攻节奏、 球员紧密系数 [6] 作为传球网络的参数进行研究。
集聚系数
节点的局部集聚系数是用来描述该节点在图中与其它节点之间结集成团的程度。具体来说，是一个点的邻接点之间相互连接的程度。通常节点 的局部集聚系数可由直接连接到节点 的节点数量百分比来表示。该测度可以对网络的 个节点求平均得到平均聚类系数。然而，当网络为加权有向时，我们不能简单地计算它们之间连接的节点数。传球网络正是这种例外的情况：球员对之间的传球次数不是恒定的。本文使用以下加权集聚系数度量球员与其他球员的之间的连接程度 [6]：
其中 和 是球队的任意其它两名球员， 和 是球员 和他们两人之间的传球次数。值得注意的是，加权集聚系数表征了队员之间形成三元结构的趋势。在球队进攻时，需要队员之间的配合，通常会存在两种队形，一种是两个队员互相传球，另外一种是三个队员互相传球，分别称为二元和三元结构。最后，再计算所有球员 的平均值得到整个网络的集聚系数：
