中线定理的证明及其应用
中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理，表述三角形三边和中线长度关系：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。中线定理的证明方法较多，下面用勾股定理证明该结论并应用该结论证明几例相关初中几何题。
题目1：如图1，在三角形ABC中，M是BC的中点，连接AM。则有如下关系：AB² AC²=2BM ² 2AM ²
解题思路：如图2，AM是△ABC的中线，AH是BC边上的高，可见△ABC中有三个直角三角形。根据勾股定理则有：
在Rt△ABH中，AB²=AH² BH²
同理，AM²=AH² HM²，AC²=AH² CH²
已知BM=CM
那么，AB² AC²=2AH² BH² CH²
=2(AM²-HM²) (BM MH)² (CM-MH)²
=2AM²-2HM² BM² MH² 2BM·MH CM² MH²-2CM·MH
=2AM² 2BM²
题目2：如图，在平行四边形ABCD中，证明：平行四边形的四条边边长的平方和等于对角线长的平方和，即AB ² BC ² CD ² AD ²=AC ² BD ²。
解题思路：根据平行四边形性质，则
AB=DC，AD=BC，AM=MC，BM=MD。
△ABD≌△CDB，其公共边BD的中点为M，根据中线定理得出：
AB ² AD ²=2AM ² 2BM ²；
BC ² CD ²=2CM ² 2BM ²。
上述两式相加：
AB ² BC ² CD ² AD ²=4 AM ² 4BM ²
=4（1/2 AC）² 4（1/2 BD）²
= AC ² BD ²。
题目3：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点。求证4BD ²=AB ² 3BC ²。
解题思路：根据中线定理可得：
2BD ² 2AD²=AB ² BC ²，将该等式进一步变形转换为2BD ² 2（1/2AC）²=AB ² BC ²
2BD ² 1/2 AC²=AB ² BC ²
4BD ² AC²=2AB ² 2BC ²
4BD ² （AC² BC ²）=2AB ² 3BC ²
4BD ² AB ²=2AB ² 3BC ²
4BD ²=AB ² 3BC ²。
题目4：如图1，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点。求证:
AB² BC² CD² DA²=AC² BD² 4MN²（欧拉定理）。
解题思路：此题要证明四边形各边长的平方和关系，并且有对角线的两个中点，应用三角形中线定理很容易将以上7条线段的平方包含进去。
连接MD、MB，可见三组有中线的三角形（图2），根据中线定理可得：
在△ABC中，AB² BC²=2BM ² 2AM ²……①
△ADC中，CD² DA²=2DM ² 2 AM ²……②
△DMB中，BM ² DM ²=2 MN² 2BN ²……③
将①、②式相加得：
AB² BC² CD² DA²=2（BM ² DM ²） 4 AM ²……④
将③式代入④式得：
AB² BC² CD² DA²=4 MN² 4BN ² 4 AM ²
=4 MN² 4（1/2 BD）² 4（1/2 AC）²
=4 MN² BD² AC²。
AB² BC² CD² DA²=AC² BD² 4MN²成立。
