一个重要的定理
现实情况下，一一对应的规则往往不好构建，很多时候我们都只能构建一个集合到另一个集合的子集的对应规则。那么，设有两个无穷集合，如果我们构建了法则可以把一一对应到，又构建了法则可以把一一对应到，那么，A和B之间是否存在一一对应呢？
答案是：一定存在。我们甚至可以直接把这个规则写出来：
为方便起见，我们现在把和分别写作和。设。根据定义，，。我们再对和使用法则，设，。由于，而是一一对应法则，根据和可知：。同理，。而这两条，就可以看做和之间的一一对应法则。
现在，重复上述操作，定义，再定义，。同理可得，，。而这两条，就可以看做和之间的一一对应法则。
如此继续下去，我们可以得到和之间，和之间。。。的对应法则。而我们的集合构建规则是和，。从和，借助和为一一对应这一特点，用数学归纳法容易证明：和。从而，将我们构建的对应规则综合起来，就形成了（即）到（即）的一一对应规则。
如果上面的表述太数学化，下面的草图可以帮大家理解：
图中，相同红色数字标出的小段之间具有一一对应关系，对应法则我已经在后面用字母标出。
可见，如果我们可以构建两个法则，分别把两个无穷集合对应到对方的一个子集，我们也可以说这两个集合的元素个数“一样多”。
无限集的势对于有限集，元素的个数可以用一个正整数来表示，而对于无限集，这显然不行。而我们从希尔伯特旅馆中可以看到，无限似乎又是可以比较大小的。所以，对于无限极的数量，我们必须给它一个名字。这个名字就叫做无限极的势。数学上，常用符号（读作“阿列夫数，Aleph数”）表示。
根据一一对应规则，如果某两个集合的元素“一样多”，就说它们的“势”相等，或它们“等势”，即。如果A比B元素“多”，就说A的势比B大，即。
这样，之前证明的定理就可以表示为：如果两个无穷集合A和B可以和对方的子集一一对应，那么必有。这个定理叫做Bernstein定理。
最小的势：在所有无限集中，显然大家能想到的元素数“最少”的就是正整数集。这是因为，既然要无限，至少至少，元素必须能一个一个排起来，一直排下去。那么，对于这个集合，我们就把它的势记作。这是所有的势当中，最小的一个。
那么，根据一一对应的规则，任意可以和一一对应的无限集的势必然都是，其个数和“全体正整数”的个数一定一样多。这样的集合我们称为“可数集”，这样的元素个数我们称为“可数”。
下面，我们要开始证明一些重要的结论了。提醒：有些可能会反直觉哦。
结论1：
很简单，将全体整数按照0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4...排列，并分别对应1,2,3,4,5....即可。
但是，我们知道，。从而，这个简单的例子告诉大家一个很重要的事情：无穷集完全可以和自身的真子集一一对应！。这在有限集里面显然是不可能的，但是一旦我们讨论“无穷”，事情就不一样了！
结论2：
什么？！有理数？！您没骗我？！有理数那么多，居然和正整数个数一样多？！
我们来看：现将有理数按照
这样排列。按照第一行，第二行，第三行。。。这样的顺序依次写下有理数，并且剔除掉和前面的值有重合的元素(例如保留而剔除)，我们就把有理数排成了一列，然后将这一列按次序分别对应1,2,3,...即可。
很反直觉，但是无懈可击。
结论3：设为（可数）无限多个有限集，且有无限多个元素。则
很简单，将中的元素顺次排列，剔除重复元素，再按照排列次序与对应即可。
结论4：设为一列无限集，且。则
证明：考察希尔伯特旅馆第三天的情况。既然，集合中的元素一定可以和第辆无穷巴士中的乘客一一对应，而还要剔除可能存在的在不止一个中出现的元素。因此，显然可以和“全体无穷巴士中全体乘客”这个集合的一个子集对应。而希尔伯特旅馆第三天的情况已经证明，“全体无穷巴士中全体乘客”可以和集合{1,3,5,7...}一一对应，集合{1,3,5,7...}又显然和{1,2,3,4...}可以一一对应（这个太明显了）。从而，“全体无穷巴士中全体乘客”可以和一一对应。所以，可以和的一个子集一一对应。
另一方面，显然可以和的一个子集对应，取任意一个作为这个被对应的子集即可。从而，根据Bernstein定理，。
所以说，即使把可数个可数集的元素全凑在一起，全体元素的个数依然可数！类似地，有限个可数集的并集依然可数，就很显然了。
结论5：代数数集可数
代数数的定义是：可以成为整系数多项式方程的根的数。有理数自然不必说，*很多无理数也属于代数数，例如，等。*那么，为什么代数数集也可数呢？
我们知道，任何整系数多项式方程的根的个数都是有限个，但是整系数多项式方程有无限多个。如果可以证明整系数多项式方程的个数是可数的，那么每个整系数多项式方程的解显然是有限个，根据结论3就完成了命题的证明。
由于整系数多项式方程显然和有序有限项整数数列一一对应（直接去从高次项到低次项的系数即可，数列项数=多项式次数 1），我们只需证明：全体有限项有序整数数列的个数是可数的。
设为全体“含有项的有序整数数列”构成的集合，。显然，“全体有限项有序整数数列”构成的集合就等于。因而，如果能证明对任意正整数，可数，根据结论4就相当于证明了全体有限项有序整数数列的个数是可数的，也就相当于完成了命题的证明。
如果我们定义集合，来表示“全体n项有序整数数列中绝对值最大的项的绝对值等于构成的集合，那么显然为有限集，且。从而根据结论3，知可数。这样，我们就完成了命题的证明。
更高级的势：无理数比有理数多吗？
在希尔伯特旅馆中，我们已经看到，旅馆在第4天就不得不挂出满员的牌子。这说明，第4天的那个“超级无穷巴士”里面的乘客数比全体正整数的个数要多，也就比我们刚才所有提到的集合元素个数都要多。
那么，这个“超级无穷巴士”到底有多少乘客呢？
首先，我们做这么一件事：给“超级无穷巴士”上的每一位乘客都改个名字。把所有乘客的标签上所有的x都改成0，y都改成1。接着，我们在每个乘客前面都加一个“0.”。这样一来，'xyxxyyyy...'就成了'0.0100111...'，'yxyxyxyx...'就成了'0.10101010...'，如此等等。
如果我们把改名之后的东西看成二进制小数，我们就不难发现，全体“超级无穷巴士”上的乘客，就对应于全体以'0.'开头的二进制无限小数的集合，而这就对应了之间的全体实数！【注：有理数可以写成无限循环小数，有限小数我们也改用循环小数表示，例如0.101可以表示为0.100111111....（1无限循环)】
因而，我们可以说，“超级无穷巴士”上的乘客的个数，就是之间全体实数的个数。根据下面的对应规则，我们可以构建至的一一对应关系：
而与此同时，函数又可以完成至的一一对应。因此可以说，“超级无穷巴士”上的乘客的个数，也等于全体实数的个数。
当然，只要我们借助二进制小数，把希尔伯特旅馆第4天中那些人的标签上的x和y分别换成0和1，很容易证明，实数的个数比有理数多。
那么这个个数如何理解呢？我们现在再换一个角度去看看那些二进制小数。如果我们把开头的'0.'给去掉，每一个二进制小数就成了一个'0'和'1'构成的无限长序列。而如果我们现在再把搬出来，并且写出其全部的子集，这个子集能否和这些序列一一对应呢？
当然可以，而且对应规则很简单！给定一个序列，在第几位取到1，我们就去正整数集中的第几个元素放到子集里。从而，序列“1011011..."对应子集{1,3,4,6,7...}，序列“000100101101..."对应子集{4,7,9,10,12...}，如此等等。原来，上的全体实数（因而也可以说整个实数集中的实数），根本就可以和的子集一一对应！
我们知道，元素有限集的子集个数为。因此，这里我们不妨沿用这个记号，把全体实数的个数记作。数学上，我们常常将它写作：。
可见，，从而实数比有理数多。这也就说明无理数一定比有理数多，否则如果有理数和无理数一样多，二者都可数，它们的并集也一定可数（前面已经证明），这就和矛盾。
无理数比有理数多很多吗？超越数比代数数多很多吗？
刚才，我们看到，实数比有理数多，从而无理数比有理数多。那么，这个多，是多多少？多一点还是多很多？
我们来看下面这个实验：既然有理数可数，我们可以把它们写成。设数集
其中。显然，。另一方面，的长度显然不超过各区间长度之和：
而可以取任意正数。这就说明，我可以用总长度任意小（可以任意小）的一个数集，把全部有理数都覆盖住。然而，整根实数数轴的长度是无限长！由此，实数不仅比有理数多，而且比有理数多很多！那么，自然地，虽然有理数和无理数在实数轴上都是稠密的，也就是任意小的区间里面都有无穷多个有理数和无理数，但有理数的个数和无理数相比嘛。。。大概就是。。。
同样的道理，我们把这个过程扩展到复数平面上，把小区间换成小圆圈，可以证明：超越数不仅比代数数多，而且比代数数多很多！
所以说，数学是非常神奇的。我们现在已经知道无理数比有理数多很多，可是当年无理数的发现者希帕索斯却被扔进了大海。我们现在知道超越数比代数数多很多，可是证明诸如，这样的数是超越数可绝非凡人能做。这，可能就是数学让人神魂颠倒的地方吧。
是无穷大的“天花板”吗？
从刚才的实验中，我们已经感觉到，比要大很多。那么，这是“无穷大”个数的天花板吗？
考察一个无限集，定义其幂集为的全体子集的集合，即：
显然，集合和集合中元素可以一一对应，而同样显然的是，。因此，。而下面的这个定理，直接否定了取等于号的可能性：
任何无穷集合和它的幂集中的元素不可能以任何方式构成一一对应关系。
证明：设某集合的元素和它的幂集的元素之间构成了一个一一对应关系。设集合。设（由于为一一对应，显然存在逆向规则，且t在S中）。那么，如果，则由知，直接违背的定义，从而。而如果，又同时满足了（打错，这个T应为S）和两个条件，完全符合的定义，从而。怎么都矛盾，只能是假设出错，从而无穷集合不可能和其幂集之间存在一一对应关系。
这样一来，即使我们从可数集开始，也可以通过构建幂集，幂集的幂集，幂集的幂集的幂集。。。。一直套娃下去，这些集合的势也一定会越来越大。套娃无止境，势就可以无限发展，没有顶棚。
