先把概念捋清楚一下。
中国诗歌分为现代诗和古代诗。现代诗就是题主指的“现代新诗”，而古代诗却不止题主括号里的律诗和绝句。律诗和绝句属于古诗中的近体诗，都是严格遵守平仄格律的诗歌形式，但是还有大量不遵守平仄格式的诗，或者创造早于平仄概念产生时期的诗，我们统称为古体诗。
现代诗和格律诗的区别所以，如果这个问题是现代诗和近体诗（律诗、绝句、排律）的最根本区别，那毫无疑问是是否遵守平仄格律。
平仄格律是在汉字平仄的基础上，固化了诗句的平仄组成，精确到每一个字的平仄，都可以在平仄格式中推导。虽然会有“一三五不论”的讲法，但是在格律诗的诗句关键位置，平仄一定是固定的，是以两个音节交替变化出现。如果不遵守这个原则，就不是近体诗，而是古风了。
平仄我们今天笼统来讲，除了入声字之外，大致一二声入平，三四声入仄。虽然用今天发音来区分平仄并不精确，但是在开始学诗的时候是没有问题的。
近体诗的四种基本格式是“仄起仄收，仄起平收，平起仄收，平起平收”，不论是五言，还是七言，不论是绝句，还是律诗，或者排律，都是首句从这几种格式起笔，然后再根据平仄推导原则推导出整首诗的平仄关系，并在创作诗作的时候严格遵守。
如“两个黄鹂鸣翠柳”，平仄为“仄仄平平平仄仄”，这就是“仄起仄收”格式，根据“对”的原则推出第二句，“平平仄仄仄平平”，我们看第二句“一行白鹭上晴天”，除了首字“一”之外，其他字都是合平仄的。第三句要和第二句相黏，却要以仄音断句，所以会对平仄做出小改动，“平平仄仄平平仄”，“窗含西岭千秋雪”，字字合律，再根据对句原则，推出第四句平仄“仄仄平平仄仄平”，“门泊东吴万里船”除了首字“门”之外，其余皆合律。所以这是一首严格合平仄格律的七绝。
现代诗句式都不整饬，自然不会把自身的汉字发音来套用这一套近体诗的平仄规则。
但是，现代诗是不是就不讲音韵呢？答案是否定的。
诗是韵文。不管现代诗还是古代诗，都是必须押韵，并且在创作过程中必须契合语言发音习惯的，也就是必须通顺、上口、抑扬顿挫、高低有致，让读者吟诵起来能够找准发音的合理性以及音律的美感。如果一首诗念起来磕磕绊绊，怎么可能口口相传，表情言志？
所以现代诗也是讲音律美的，只是不遵从近体诗的那套固定平仄规则而已。这是现代新诗和古典近体诗的最重要区别。
但是古典诗还有开始提到的古风，如果题主问的是现代新诗和古典诗（包括古体诗和近体诗）的最根本区别，那又该如何回答呢？
古体诗不遵守平仄格律，那么在创作的时候和现代诗就极其相似了。不在乎句式长短，不用一韵到底，不用对仗成句，内容上也可以跳出格律诗的“起承转合”，浪漫恣肆，随心所欲。所以，古体诗在创作时和激情蓬勃的现代诗是一样的。
平仄出现之前我们不讨论，平仄出现之后的古体诗，很大一部分原因就是因为不喜欢格律对创作的限制，才没有在格律诗出现后萧条，而是和近体诗齐头并进、一同发展，成为中国古诗的两大派别。
我们甚至可以这么看，古体诗就是当时的现代诗。
而古体诗和近体诗的区别在于平仄格律，他们的共同点是精炼文言文，即古代书面语言而成。
而现代诗是在白话文（当代书面语言）的基础上写成。
今古书面语言系统的不同，就是现代诗和古诗（古体、近体）最根本、最底层的区别。
