运用公式法进行因式分解除了运用平方差公式a^2-b^2=(a b)(a-b)外,还包括运用完全平方公式:
a^2±2ab b^2=(a±b)^2,
从完全平方公式来看,要想运用它进行因式分解,多项式必须具备如下三个条件:
①有三项,分别是前项a^2,中间项2ab,后项b^2;
②前后两项带平方且相加;
③中间项是前后项底数a、b乘积的2倍。
这三个条件的特征可用口诀记为:
前平方,后平方,前后两倍在中间。
(注:这里的“前”、“后”是指不带平方的底数)
分解结果(a±b)^2是和差的平方,其中a与b是加是减与中间项2ab的符号同步,即如果中间项是 2ab,则结果为(a b)^2;如果中间项是-2ab,则结果为(a-b)^2。
例如,x^2 2x 1中,前是x的平方;后项1可看作是1的平方,所以后是1的平方;中间项2x恰好是前后x,1乘积的2倍。所以该多项式具备完全平方公式三个条件,可以分解为“前后和差的平方”(x 1)^2.
又如,4x^2-4xy y^2中,前项4x^2可化为(2x)^2,所以前是2x的平方;后是y的平方;中间项4xy恰好是前后2x和y乘积的2倍。所以可用完全平方公式分解为(2x-y)^2.
再比如,x^2 4x 1,虽然前是x的平方,后是1的平方,但中间4x不是前项x与后项1乘积的2倍,所以该多项式不具备完全平方公式条件,因此不能运用完全平方公式分解。
运用完全平方公式因式分解的关键有两点,首先是判断多项式是否具备公式条件?再者是确定前与后分别是什么(这里的所谓“前”、“后”是不包括平方的)?
例如,9a^2-12ab 4b^2,先把前后项分别写成平方,得:
原式=(3a)^2-12ab (2b)^2,
显然,该多项式满足“前平方,后平方”条件,接下来关键是判断中间项12ab是不是“前后乘积的两倍”?如果是,就满足公式条件;如果不是,就不满足公式条件。
因为前是3a,后是2b,前后乘积的两倍2·3a·2b=12ab,恰好是中间项,
所以该多项式满足公式条件,分解结果为“前3a减去后2b的平方”(3a-2b)^2.
运用完全平方公式分解因式的一般步骤是:
(1)将前后平方项都写成(…)^2的形式,并分别置于前后;
(2)验证前后平方项底数乘积的2倍是否等于中间项?(这一步不需要写出来,心里验证就可以了)
(3)验证满足公式条件后,直接把多项式写成“前后和差的平方”即可。此时注意中间项的“符号”来确定是“和”?还是“差”?
例如,分解因式:x^2 9y^2-6xy。
解析:先把9y^2写成(3y)^2,并把它调整到最后位置,得:
原式= x^2-6xy (3y)^2;
前是x,后是3y,2·x·3y=6xy,恰好等于中间项6xy,又中间项是带负号“-”,所以分解结果是(x-3y)^2。
完整的解答过程是:
原式= x^2-6xy (3y)^2
=(x-3y)^2。
又如,分解因式:16x^2y^2 40xy 25.
解:原式=(4xy)^2 40xy 5^2
=(4xy 5)^2.
公式中的a、b可以是单独一个字母,一个数,也可以是单项式,多项式等。不管它们是什么,记住“前平方”的“前”是什么,“后平方”的“后”是多少就可以了。
例如,分解因式:(a b)^2-8(a b) 16.
先把多项式化为(a b)^2-8(a b) 4^2,则前是(a b),后是4,经验证符合完全平方公式,所以
原式=(a b)^2-8(a b) 4^2
=(a b-4)^2.
运用完全平方公式因式分解与运用平方差公式分解一样,注意以下几点:
(1)有公因式的先提取公因式。
例如,分解因式:2a^3 4a^2 2a。
解:原式=2a(a^2 2a 1)
=2a(a 1)^2.
(2)平方项带负号“-”的先提取负号“-”。
例如,因式分解:4xy-4x^2-y^2.
解:原式=-(4x^2-4xy y^2)
=-[(2x)^2-4xy y^2]
=-(2x-y)^2.
(3)分解后要对因式化简、整理。
例如,分解因式:(a-2b)^2 2(a-2b)(a-b) (a-b)^2.
解:原式=[(a-2b) (a-b)]^2
=(2a-3b)^2.
(4)分解后有公因式的要提取公因式。
例如,分解因式:25(x 3y)^2-30(x 3y)(x-y) 9(x-y)^2.
解:原式=[5(x 3y)]^2-30(x 3y)(x-y) [3(x-y)]^2
=[5(x 3y)-3(x-y)]^2
=(5x 15y-3x 3y)^2
=(2x 18y)^2
=[2(x 9y)]^2
=4(x 9y)^2.
(5)分解后又符合公式条件的要继续用公式法分解。
例如,因式分解:a^4-8a^2 16.
解:原式=(a^2)^2-8a^2 4^2
=(a^2-4)^2
=[(a 2)(a-2)]^2
=(a 2)^2(a-2)2.
(6)有分数系数时提取某个系数,创造用公式的条件。
例如,因式分解:2x^2 2x 1/2.
解(一):原式=2(x^2 x 1/4)
=2[x^2 x (1/2)^2]
=2(x 1/2)^2.
解(二):原式=1/2·(4x^2 4x 1)
=1/2·[(2x)^2 4x 1]
=1/2·(2x 1)^2.
(7)用平方差公式分解后再运用完全平方公式继续分解。
例如,分解因式:(a^2 b^2)^2-4a^2b^2.
解:原式=(a^2 b^2)^2-(2ab)^2
=(a^2 b^2 2ab)(a^2 b^2-2ab)
=(a b)^2(a-b)^2.
练习:把下列多项式因式分解:
(1)x^2-12x 36.
(2)4m3 12mn 9mn^2.
(3) x^4-2x^2y^2 y^4.
(4)(x-1) ^2 4(1-x) 4.
(5)(a-b)^2-6(a-b)(a b) 9(a b)^2.
(6)(a^2 1)^2-4a^2.
(未完待续)