勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）
第四个问题是鼎鼎大名的孪生质数猜想（twin prime conjecture）：存在无穷多对质数，它们之间只相差2。这样的一对质数，叫做孪生质数。我以前介绍过，中国数学家张益唐在这个问题上取得了突破性进展。他证明了，存在无穷多对质数，它们之间的差距不超过7千万。假如把7千万缩小到2，就证明了孪生质数猜想，但现在还没有做到。
张益唐
如果你没有理解这为什么是个突破，我们来稍微解释一下。7千万虽然看起来是个很大的数，但以前是完全不能肯定有这样的上限存在。所以张益唐是从无限进步到了7千万，这是质的区别，而从7千万到2只是有限到有限，这是量的区别。目前的最好结果，是把这个差距缩小到了246。但再往下就十分困难了，还需要新的思想。
第五个问题是梅森质数猜想。梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）是十七世纪的法国数学家，他研究了2^p - 1类型的数，其中p是一个质数。现在我们把这样的数叫做梅森数，记为Mp。假如对于某个p，Mp是个质数，就把它称为梅森质数。梅森质数猜想说的就是：存在无穷多个梅森质数。
梅森
是不是真的这样呢？没人知道。我们知道的是，寻找梅森质数是目前寻找大质数最好的办法。近几十年来找到的最大的质数，都是通过对梅森质数的搜索找到的。例如2018年发现了目前最大的梅森质数也就是目前最大的质数2^82589933 - 1，它是个24862048位数。
第六个问题是n^2 1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2 1是质数。这个猜想的表述出奇的简单，证明却完全无从下手。
第七个问题是费马数猜想。这个猜想的风格跟前面的正好相反，前面那些都是要证明有无穷多个什么什么，这个却是要证明某个东西只有有限多。是什么东西呢？是说费马数中的质数只有有限多。什么叫费马数？就是那些形如2^(2^n) 1的数，其中n = 0，1，2，3，4……我们把它记为F(n)。
费马（Pierre de Fermat，1601 - 1665）发现，当n从0到4时，F(n)都是质数。大家可以来检验一下，这五个数分别是3、5、17、257和65537，确实都是质数。下一个F(5)太大了，费马没有去检验，他就兴致勃勃地猜想费马数全都是质数。结果将近一百年后，欧拉发现F(5)是个合数，它等于641 × 6700417，这就推翻了费马的猜想。更令人大跌眼镜的是，后来人们算出的费马数全都是合数，再也没见到一个质数！所以现在我们的猜想反过来了，变成了费马数中只有有限个质数。更进一步，说不定费马数中的质数只有最初的那五个呢，谁知道？
费马
第八个问题是奇完全数猜想。所谓完全数（perfect number）或者完满数、完美数就是这样的自然数，它的所有真因数之和等于它自己。请注意这里说的是真因数而不是质因数，真因数就是那些小于它自己的因数。例如6是一个完全数，因为6的真因数只有1、2、3，而1 2 3刚好等于6。又如28的所有真因数是1、2、4、7、14，这些数加起来等于28，所以28也是完全数。
