比克曼漫不经心地接过答卷，才瞥了一眼，便惊讶了：这个小伙子竟是懂数学的。
等到看完后，比克曼惊呆了：“这么难的题都能解出来，不但全对，而且解法简洁巧妙！”
这次巧遇使得两人结识成为忘年交，经常进行数学辩论：双方都认为有必要创造一种将数学和物理学完全联系起来的方法。
至此之后，虽然笛卡尔仍然身处军营，但却从不上战场，只是终日沉思数学哲学高深问题。
一天夜晚，他卧床休息时，突然眼前一亮，发现一只小蜘蛛在天花板上一边吐丝结网一边上下爬动。
一只蜘蛛成功激起了笛卡尔的数学兴趣，因为当时的他正思考几何中的点如何才能在代数中表示出来呢？
于是，他带着愉快而又焦急的心情入睡，而这晚注定是魔幻之夜，入睡后他连做了三个噩梦：
在第一个梦中，笛卡尔由于右脚无力而被一阵狂风吹得立足不稳；（提醒所犯之错）
第二个梦境，他被刮到一间风力不能施威的屋内被一声霹雳唤醒，周围充满火花；（真理降临其身）
第三个梦里，他先是拿着字典，后在一本书中读到一句名句“我将追求什么样的生活道路？”（开辟通向真理之路）
三梦惊醒梦中人，这让他觉得上帝托梦，“天将降大任于斯人也”，这增强了他创立新学说的信心。
于是他又继续思索那半空中的蜘蛛，灵光一闪，立即腾身起床。
在纸上画了三条互相垂直的直线, 分别表示两墙面的交线和墙与天花板的交线，用一个点表示空间的蜘蛛, 测出这点到三个平面的距离。
这样，就可准确地标出蜘蛛在空中的位置。
这意味着，他从中获得了解析几何理论的线索。后来，他的这套想法就被人们称之为“笛卡尔坐标系”。
发表惊世之作
就这样，小小的士兵成功转职成了数学家。
很快，笛卡尔便申请了退伍，躲到乡下去专心研究哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域，陆陆续续发表了多部重要的文集，还结识了数学家大佬梅森与欧洲主要学者。
1637年，天才不止会一门学问，他用法文匿名出版写成了《方法论》，主要有三篇论文《屈光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》。
《方法论》
厉害的是，这部著作一反当时学术界的常规，用法文而不用复杂拉丁文撰写，以便学渣渣也能阅读。其中最为有名的是《几何学》，这包括了他的数学成果。
在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的领域。
他站在自然哲学的高度，认为古希腊人的几何学太具象化了，束缚了想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它太死板了只会使智商下线。
