让我详细说明一下。在贴片坐标系中，虫子（光脉冲）参与了所谓的哈勃流：虫子以速度c相对于气球表面移动，所以以速度c v相对于贴片移动，v是气球表面相对于贴片的速度。当然v会随着距离变化，但是根据哈勃定律，在距离r处，v=Hr 。现在如果虫子朝着贴片移动而不是远离贴片，他们在贴片坐标系中的速度应该是c-v而不是c v。可以说，它们将逆流而上与膨胀的流动空间作斗争。更不巧的是，光速在贴片坐标系中是各向异性的。
让我们用这两种方法计算红移的程度。首先用多普勒频移的方法，如前文所述，这是一个近似方法，仅当以下两个假设成立时适用。第一，斑点必须足够近，以至于它们不会快速地远离彼此；第二，在光波从一个斑点传播到另一个的时候哈勃“常数”H不能变化太多。
先来讨论一个虫子（换言之，一个波峰）在宇宙学时间t_0时刻出发，第二个虫子在t_0 ∆t时跟上。所以周期为∆t（我们假设∆t很小）。我们使用的是一个坐标贴片，其中第一个散斑不移动，而两个散斑都使用宇宙学时间，因此我们使用固定源、移动接收器的多普勒公式的标准非相对论推导是合适的。假设第一个虫子在t_1时刻到达“移动的”散斑，径向坐标为r。第二个虫子在t_1 ∆t时刻穿过相同的坐标线（或者说到达r）。此时，散斑移动到了r Hr∆t处。因此第二个虫子必须以相对速度c（散斑和虫子都由哈勃流携带）弥补附加分离量Hr∆t，所以到达散斑的时间不同：
∆t Hr∆t/c
所以周期增加了Hr∆t/c。而光波的波长与其周期成正比。设λ为初始的光波长，∆λ为波长的变化，并设z=∆λ/λ（标准符号）。有：
z=∆λ/λ=(Hr∆t/c)/∆t=Hr/c
（有一点值得讨论：以上假设了周期∆t在传播过程中不变，我们并没有假设在虫子之间的距离中传播的波长不变，事实上也没有。但是周期∆t确实变化了，因为我们假设哈勃常数H不变。）
“拉伸”的理论更简单。在这里，径向坐标记为r_1，不变。距离在宇宙学时间t时为r=R（t）r_1，距离改变了。这里的R（t）为膨胀系数，更多关于R如何随着时间t变化的细节在FRW模型中。现在需要的就是R和H的关系。显然，退行速率是（dR/dt）r_1，并且由哈勃定律可知，它等于HR（t）r_1（退行速率和距离成正比），r_1消去有：
H=(dR/dt)/R
我们假设在t=t_0时初始波长为λ；经过一段时间到达了第二个散斑，它被拉伸了(R(t_1))/R(t_0 ) .所以
z=∆λ/λ=(R(t_1))/R(t_0 ) -1=(R(t_1 )-R(t_0 ))/R(t_0 )
但是根据通常的微积分极限，R(t_1 )-R(t_0 )≈（dR(t_0 )/dt）(t_1-t_0).对时间的估计是依据距离除以速度，t_1-t_0=(R(t_0)r_1)/c=r/c
所以，z≈(dR(t_0 )/dt r/c)/R(t_0 ) =Hr/c
这里再强调这个公式不适用于大的红移，在大红移中哈勃常数H会发生很大的变化。
参考资料
1.Wikipedia百科全书
2.天文学名词
3. math- Misner
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