现在，利用零件的积分，可以将上述方程的lhs简化为
可以看出，未知函数u(X)所需的连续性阶约为1。以前的微分方程要求u(X)至少可微两次，而积分方程则要求u(X)仅可微一次。多维函数也是如此，但导数被梯度和散度所取代。
不涉及数学，Riesz表示定理可以证明u(X)对于积分和微分形式是唯一的解。另外，如果f(X)是光滑的，它也保证u(X)是光滑的。
离散化一旦建立了积分或弱形式，下一步就是对弱形式进行离散化。积分形式需要进行数值求解，因此积分被转换为可以数值计算的求和。此外，离散化的主要目标之一也是将积分形式转化为一组矩阵方程，这些方程可以用众所周知的矩阵代数理论来求解。
域被划分为称为“元素”的小块，每个元素的角点称为“节点”。在节点处计算未知泛函u(X)。为每个元素定义插值函数，对元素内部的值使用节点值进行插值。这些插值函数也常被称为形状函数或ansatz函数。因此，未知泛函u(X)可以简化为
其中，nen是元素中的节点数，Ni和UI分别是与节点I相关联的插值函数和未知数。同样，也可以对其他函数v(X)和f(X)进行弱形式的插值，以便将弱形式重写为
求和格式可转化为矩阵积，并可重写为
