复杂的鸡兔同笼问题专题训练
一、知识要点和基本方法
1．鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只．
(1)解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：
先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔．
(2)解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)．
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)．
注意，这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，所以另一个也就知道了．
2．鸡兔同笼问题的变型有两类：
(1)将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：
已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；
已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；
已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只．
(2)将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等．
注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决．
二、例题精讲
例1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?
分析：题目中给出了鸡、兔共有40只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也捆起来，也看成是一只脚，那么兔子就成了2只脚(即把兔子都当成两只脚的鸡)．鸡兔总的脚数是40×2=80(只)比题中所说的130只要少
130-80=50(只)．
现在松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2，即80 2=82．再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，即82 2=84，…一直继续下去，直至增加到50．因此，兔子数是
50÷2=25(只)．
实际上，这就是上述基本关系式(2)．
解：(130-40×2)÷(4-2) =(130-80)÷2 =50÷2 =25(只)．
40-25=15(只)．
答：笼子中有兔子25只，有鸡15只．
例2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只?
分析：此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比例1复杂了．解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了．
突破口在于：蝉和蜻蜓都有6条腿．
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”两种，利用基本关系式算出8条腿的
蜘蛛数=(140-6×21)÷(8-6) =(140-126)÷2 =14÷2 =7(只)．
因此，知道了6条腿的昆虫共有 21-7=14(只)，
也就是蜻蜓和蝉共有14只．因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得
蝉数=(14×2-24)÷(2-1) =(28-24)÷1 =4(只)．
因此，蜻蜓数是14-4=10(只)．
答：有7只蜘蛛，4只蝉，10只蜻蜓．
例3、鸡与兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数少70，问鸡与兔各多少只?
解：假设再补上70只鸡脚，也就是再有鸡70÷2=35(只)，则鸡与兔的脚数就相等，兔的脚数是鸡的脚数4÷2=2(倍)．于是鸡的只数是兔的只数的2倍．
因此，兔的只数是(40 70÷2)÷(2 1)=25(只)，
鸡的只数是 40-25=15(只)．
答：鸡15只，兔25只．
例4、在一个停车场上，停放的车辆(汽车和三轮摩托车)数恰好是24．其中每辆汽车有四个轮子，每辆摩托车有三个轮子．这些车共有86个轮子．那么，三轮摩托车有多少辆?
分析：我们可将汽车“看作兔子”，将三轮摩托车“看作鸡”，轮子“看作腿”，就可用鸡兔同笼的原理来解此题．
解：24辆车如果都算作汽车，那么将有24×4=96(个)轮子．比现有的86个多10个轮子．每一辆三轮摩托车比每一辆汽车少一个轮子，故要有10辆三轮摩托车来抵消10个轮子．
答：共有10辆三轮摩托车．
公式套用：若用基本关系式，鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
“翻译”为摩托车车辆数计算公式(这里将摩托车看作“鸡”)：
摩托车数=(汽车轮子数×车辆总数-轮子总数)÷(汽车轮子数-摩托车轮子数)，
即有摩托车数：(4×24-86)÷(4-3)=10(辆)．
三、专题特训
1．有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗?
2．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张?
3．春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道倒扣3分，不做得0分，这3名同学都做了所有题．小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分．问他们三人一共答对了多少题?
4．某班同学外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程票与往返票相差几张?
5．某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元，共有100人中奖，奖金总额为9500元．问其中二等奖有多少名?
6．有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍，已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？
7．箱子里有红、白两种颜色的玻璃球．红球数是白球数的3倍多2个．每次从箱子里取出7只白球，15只红球．若经过若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只红球．那么箱子里原有红球多少只?
8．甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发?
9．姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣12分．姣姣和甜甜各算了10道题，两人共得208分，姣姣比甜甜多得64分，问姣姣和甜甜各算对了多少道题?
10．某种考试已举行了24次，共出了426题，每次出的题数有25道，或者16道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次?
参考答案
1．猎手有275人，狗有85人。
2．最多可买1角邮票6张。
3．共答对了20道。
解：三人共得87 74 9=170(分)，比满分少300-170=130(分)，因此3人共做错130÷(10 3)=10(道)所以，共答对30-10=20(题)。
4．单程票比往返票多17张。
解：设99张均为往返票，应花99×4=396(元)，比实际多花396-280=116(元) ．因一张往返票比一张单程票多2元，所以单程票116÷2=58(张)，往返票有99-58=41(张)，两者相差17张。
5．二等奖13名。
设都是三等奖，奖金就多下9500-50×100=4500（元），一个一等奖要增加1000-50=950（元），一个二等奖要增加250-50=200（元）.因此
950×一等奖个数 200×二等奖个数=4500（元）.
很明显一等奖个数是偶数，2，4，6，….6×950＞4500.4×950余下的钱就不能被200整除，因此一等奖个数只能是2.
二等奖个数是
（4500－950×2）÷200=13（个）.
6．有5分硬币7个。
设2分硬币x个，则1分硬币11x个；1元＝100分，则100－（2x＋11x）能被5整除，试验可知当x＝5时，符合要求。那么，100－（2x＋11x）＝100－65＝35（分）。35÷5＝7（个）。
7．原有红球数为158只.
解：如果每次红球取3×7=21(只)，那么最后剩下的红球数仍应是剩下的白球数的3倍多2只，即3×3 2=11(只)，比现在少53-11=42(只)．这是由于每次多取了2l-15=6(只)红球．所以共取了42÷6=7(次)，因此，原有红球数为：7×15 53=158(只)。
8．甲中8发，乙中6发。
解：假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得4×10=40(分),乙得5×4-3×6= 2(分).比题目条件“甲比乙多10分”相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4 2=6(分),乙可增5 3=8(分).
28÷(6 8)=2.
甲中10-2=8(发).乙中14－8＝6（发）。
9．姣姣算对8道，甜甜算对6道。
解：姣姣得分（208＋64）÷2＝136（分）；甜甜得分208－136＝72（分）；假设她们都做对10道题，则每个人的总分各是200分。
姣姣差了200－136＝64分，姣姣错了64÷（20＋12）＝2（道），做对了10－2＝8（道）。
甜甜差了200－72＝128分，甜甜错了128÷（20＋12）＝4（道），做对了10－4＝6（道）。
10．其中考25题的有2次。
解：假设每次都考25题，则共考25×24＝600题，比实际情况多600－426＝174题。多的174题是因为有时考16道，有时考20题，那么考16道题一次相差25－16＝9题，考20道题一次相差25－20＝5题。试验174里面有多少个9？有多少个5？会出现两种情况：
第一种6个9，24个5 6＋24＞24 不符合题意
第二种16个9，6个5 16＋6＜24 符合题意 那么出25题的有24－16－6＝2次。
同余问题专题训练
一、知识梳理
1、同余的定义：若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作 “a同余b模m” 。
例如：17÷3=5……2
23÷3=7……2
17≡23(mod 3) 读作：17同余23模3或17，23对于模3同余。
2、同余的性质：
（1）一个数一定同余被模除后的余数。
（2）如果a≡b(mod m),且a≥b,那么m|(a-b)。
（3）a≡a(modm)(反身性）。
（4）若a≡b(mod m)，那么b≡a(modm)(对称性）。
（5）a≡b(modm), b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)(传递性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，所以 2≡17(mod 5)。
（6）a≡b(modm), c≡d(mod m)， 那么a±c≡b±d(mod m)(加减性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，
所以 2 12≡12 17(mod 5) 14≡29(mod 5)。
（7）若 a≡b(mod m), c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，
所以 2×12≡12×17(mod 5) 24≡204(mod5)
（8）若 a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m)(可乘方性) 。
例如：2≡12(mod 5)， 所以 23≡123(mod 5) 即8≡1728(mod 5)
（9）若ac≡bc(mod m),(c，m)=1互质,那么 a≡b(mod m)。
如：3×2≡5×2(mod 4)，但 3≡5(mod 4) 不成立。因为（2，4）≠1。
二、例题精讲。
例1、求263×13136×914的积除以13的余数.
分析：如果直接把这个三个数相乘，再用结果去除以13，显然计算量会很大，不可取。根据同余的可乘性，我们可先分别求出三个因数除以模13的余数（一个数一定同余被模除后的余数），再用余数相乘的积去除以模13得到余数。
解：263≡3(mod 13)，13136≡6(mod 13)，914≡4(mod 13)
根据同余的可乘性得:263×13136×914≡3×6×4 (mod 13)
3×6×4≡7(mod 13)
263×13136×914的积除以13的余数为7.
例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
解：412－133＝279，412-257＝155，257－133＝124。
（279，155，124）＝31.三个数的最大公约数是31，所以a最大是31。
例3、求14349除以7的余数.
分析：根据同余的可乘方性可解此题，因为49＝32 16 1，所以只要求出143的32次方、16次方和143除以7余数是几，然后根据同余的可乘性来求出最终14349除以7的余数是几。
解：143≡3(mod 7),1432≡32≡2 (mod 7)
1434≡22≡4 (mod 7),1438≡42≡2 (mod 7)
14316≡22≡4 (mod 7),14332≡42≡2 (mod 7)
49=32 16 1
14349=14332×14316×1431
14349≡14332×14316×1431≡2×4×3≡3 (mod 7)即余数为3.
三、专题特训:1．一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是多少?
2．310被一个两位数除，余数是37，这个两位数是多少?
3．71427和19的积被7除，余数是几?
4．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为0）．问这个整数是几?
5．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少?
6．31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少?
7、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和1，那么n最小是多少?
8、除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是几?
9、把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几?
10、求1919除以7的余数.
参考答案
1．解 设被除数为a，商为 b，依题意得：a = 23b 2，被除数扩大4倍得：4a=92b 8，8＜23，所以余数是8．
2．解 310-37=273=3×7×13．大于37的两位数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39、91．
3．解 71427÷7余6，19÷7余5，那么两数的积被7除的余数是两数余数积被7除的余数，即
71427×19≡6×5 (mod 7)
6×5≡2(mod 7)
71427×19的积除以7的余数为2.
4．解 根据同余，300-262=38和262-205=57都被这个数整除．这个数是(38，57)=19．
5．解 设某数为x，则x 2同时被3、5、7整除，所以x的最小值为3×5×7-2=103．
6．解 因为31453÷4=7863……1，68765÷4=17191……1，987657÷4=246914……1，1×1×1=1，所以31453×68765×987657的积除以4余数是1．
7、解 1991-2=1989能被n整除，同理1769-1=1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2．因为(1989，1768)-13×17，所以n最小是13．
8、解 因为除以3余1，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67÷7=9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…．所以，符合条件的最小三位数是172．
9、
解 把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1×9=9(个)数码，两位数写了2×90=180(个)数码，三位数写了(201-9-180)÷3=4(个)，即写到了99 4=103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103÷3=34……1，前102个自然数(3×34=102)的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以：103÷3=34……1，即这个201位数除以3余数是1．
10、解
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