- 这就是著名的黎曼zeta函数
随着s改变，zeta（s）连续地取不同的值。s取哪些值，zeta（s）是零呢？黎曼的猜测是，对于实部为1/2的所有s，即
这就是著名的黎曼猜想。无论谁证明它成立或证明它不成立，都将给自己带来巨大的荣誉，并将附带解决素数理论中、高等算术的其他部分以及分析学的某些领域中的许多极为困难的问题。1914年，英国数学家G·H·哈代证明了s的无穷多个值满足这个猜想，但无穷未必是全部。黎曼猜想不是那种能用初等方法解决的问题，比费马大定理更难。
黎曼在中学以惊人的速度靠自学，不仅领会了勒让德这个伟大数学家的著作；他还通过学习欧拉的著作，熟悉了微积分学及其分支。相当令人惊奇的是，黎曼从分析学的这样一个古老的起点（由于高斯、阿贝尔和柯西的工作，欧拉的方法到19世纪40年代中叶已经过时）开始，后来竟能成为一名成功的分析学家。
1846年黎曼19岁时，成为哥廷根大学一名学习哲学的学生。但是他放不下斯特恩（Stern）关于方程论和定积分，高斯关于最小二乘法，以及戈尔德斯米特关于地磁学的数学讲座。黎曼向他的父亲承认了这一切，请求允许他改学数学。父亲由衷地同意了。
在哥廷根大学读了一年以后，黎曼转到柏林大学，就学于雅可比、狄利克雷、施泰纳和艾森斯坦。他向这些大师学到了很多东西——从雅可比那里学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从施泰纳那里学到了现代几何，而从比他年长三岁的爱森斯坦那里，他不仅学到了椭圆函数，也学到了自信，因为他和这位年轻的大师对理论应该如何发展，有着根本的不同观点。爱森斯坦坚持美妙的公式，多少有点现代化的欧拉风格；黎曼想要引进复变量，从少数简单的一般原理，以最少的计算，导出整个理论。由黎曼开创的单复变量函数理论，在现代科学史上相当重要。
1849年黎曼回到哥廷根大学完成了他的数学学业，取得了博士学位。人们通常把他当作纯数学家，其实他的兴趣是非常广泛的，事实上，他用于物理科学的时间与他用于数学的时间同样多。要是他能多活二三十年，他很可能会成为19世纪的牛顿或爱因斯坦。他的物理学思想在他那个时代是极其大胆的。直到爱因斯坦完成了他的广义相对论，物理学家们才意识到黎曼预见到的物理是合理的（黎曼是用几何方法研究的）。
黎曼在哥廷根大学的最后三个学期，听了哲学讲座和威廉·韦伯的实验物理学课程。黎曼去世后留下的哲学和心理学的未完稿，表明他作为一个哲学思想家，同他在数学中一样富于独创性。同时，作为一个物理数学家，黎曼在对于数学中很可能具有科学上应用价值的东西的直觉上，与牛顿、高斯、爱因斯坦是同一等级的。
黎曼在1850年（24岁时）得出结论，
有可能建立一个完整的、自圆其说的数学理论，这个理论从一些单个点的基本定律，推论出在充满物质的现实空间（连续充满的空间）中所见到的过程，不分引力、电、磁或静热力学。
这也许可以解释为黎曼抛弃了物理科学中一切有利于场论的“超距作用”理论。在场论中，比如说，围绕着一个“带电粒子”的“空间”的各种物理性质，是数学研究的对象。黎曼对他在物理学中的工作着了迷，把他的纯粹数学暂时放在一边，1850年他参加了由韦伯、乌尔里希、斯特恩和利斯廷刚刚开设的数理物理学研究班。
1857年，黎曼把拓扑方法引入单复变函数论中。高斯曾经预言过，拓扑学会成为数学的一个最重要的领域，黎曼通过他在函数论中的发明，部分实现了这个预言。
黎曼利用他的曲面及其拓扑性质取得了惊人的进展，特别是在阿贝尔函数方面。这方面的一个问题是，怎样做出截线以使得n叶曲面等同于一个平面。这种高度的空间“直觉”是极其难能可贵的。
1851年11月初，黎曼把他的博士论文《单复变函数一般理论的基础》呈交给高斯审查。黎曼在高斯看完他的论文后前去登门拜访，高斯告诉他，他本人已经计划多年，要想写一篇同样题目的专题论文。高斯说，
黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题的那些部分，作了全面深入的研究，说明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。表达方式清晰简明，在一些地方甚至是优美的。大多数读者会希望安排更为明确。整篇论文是有内容有价值的著作，它不仅满足了博士论文所要求达到的标准，而且远远超过了这些标准。
从1853年（黎曼27岁）起，他集中精力思考数理物理学。由于他对物理科学日益增长的热情，他的就职论文拖延了很久，直到这一年的年底才完成。在他担任讲师职务之前，他还得作一次就职演讲。高斯指定“几何基础”作为黎曼的演讲主题，这是高斯研究了60年的问题，他希望看看这个如此年轻的人怎样处理这一难题。黎曼苦心准备了这次演讲，受到了很大的欢迎。黎曼的《论作为几何学基础的假设》不但是整个数学上一篇伟大的杰作，也是一篇供举荐的名著。
黎曼关于阿贝尔函数的独具特色的部分著作，关于超几何级数以及对这个级数提出的微分方程的经典著作，在数理物理学中极为重要。在这两方面的著作中，黎曼在他自己的新方向上独树一帜。他的方法的一般性，直观性，是他自己所特有的。
黎曼对阿贝尔函数理论的发展，不同于魏尔斯特拉斯对它的发展，犹如月光不同于日光。魏尔斯特拉斯的研究是有条不紊的，在所有的细节上都是精确的。至于黎曼，看到了整体，但忽略了细节。魏尔斯特拉斯的方法是算术的，黎曼的方法是几何的和直观的。说一个比另一个“更好”是没有意义的；两种方法都不能从普通观点去理解。
工作过度和缺乏合理的休息，使黎曼刚刚31岁时就神经衰弱，黎曼被迫在哈尔茨的山村度过了几个星期（他在那里遇见了戴德金）。一天傍晚，黎曼阅读布鲁斯特的牛顿传记，发现了牛顿致本特利的信，在这封信中，牛顿本人断言了无介质的超距作用是不可能的。这使黎曼很高兴，并激起他作一次即兴演讲。今天，黎曼称赞的“介质”并不是发光的以太，而是他自己的“弯曲空间”，或它在相对论时空中的反映。
1858年，黎曼写了关于电动力学的文章。关于这篇文章他写信告诉他的姐姐，
我已经把我关于电与光之间的密切联系的发现，呈送给哥廷根皇家学会了，我听说高斯曾经就这一密切联系设想了另一个理论，和我的理论不同，并告诉了他的密友们，不过，我充分相信我的理论是正确的，过几年就会得到承认，诚如所知高斯不久收回了他的论文，没有发表它；也许他本人对它不满意。
看来黎曼在这个问题上是过于乐观了；克拉克·麦克斯韦的电磁场理论是今天主导这个领域的理论。光和电磁场理论的目前状况过于复杂，无法在这里介绍；注意到黎曼的理论没有流传下来就足够了。
狄利克雷于1859年5月5日去世，这样，黎曼在33岁时成了高斯的第二个继任者。在一次去柏林访问期间，他受到博查特、库默尔、克罗内克和魏尔斯特拉斯的宴请。各种学会，包括伦敦皇家学会和法兰西科学院，授予他会员的荣誉，总之，他得到了一个科学家通常所能得到的最高荣誉。1860年访问巴黎时，他结识了法国第一流的数学家，特别是埃尔米特，他对黎曼的称赞简直没有止境。这一年，1860 年，是数学物理学史上值得记忆的一年，因为在这一年，黎曼开始集中写作他的论文《关于热传导的一个问题》，他在这篇文章中发展了二次微分形式的全部方法，今天二次微分形式是相对论的基础。
黎曼的物质生活随着他被任命为正教授而大大改善，他在36岁时有能力结婚了。他的妻子伊丽泽·科赫是他的姐妹的朋友。婚后仅仅一个月，黎曼在1862年患了胸膜炎，尚未完全康复又患了肺病。在哥廷根，他常常表示想要与戴德金谈谈他尚未完成的工作，但是一直没有感到身体强壮到能经得住一次拜访。他最后的日子是在马焦雷湖畔塞拉斯卡的一栋别墅中度过的。黎曼于1866年7月20日去世了，时年39岁。
作为一个数学家，黎曼的伟大在于他为纯粹数学和应用数学揭示的方法和新观点是极其普遍的，适用于无限的范围。
几何基础他把一个庞大问题的整体看作一个连贯的统一体。这里只能介绍他的一个伟大的作品，即1854年关于几何基础的论文。黎曼指出，因为有不同的线和曲面，所以有不同种类的三维空间；我们只能凭经验去找出我们生活在其中的空间究竟属于这些三维空间中的哪一类。特别是，平面几何的公理在一张纸的平面上试验的限度内是成立的，然而我们知道，这张纸实际上布满着许多小皱纹，在其上（总曲率不为0）这些公理不成立。他说，同样地，虽然立体几何的公理在试验的限度内对于我们空间的有限部分是成立的，然而我们没有理由认为它们对于非常小的部分也是成立的；如果因此能对解释物理现象有所帮助的话，我们可能就有理由得出它们对于空间的很小的部分不成立的结论。
黎曼说，我要在这里指出一种方法，使这些思考可以应用于物理现象的研究。我认为实际上：
- 空间的小部分事实上所具有的某种性质，类似于在平均来说平坦面上呈曲面的小丘；普通的几何定律在那里并不成立。
- 这种呈弯曲或扭曲的性质，以波的方式连续地从空间的一部分过渡到另一部分。
- 空间曲率的这种变化真实地发生在我们称为（不管是可量度的还是很虚缈的）物质运动的那些现象中。
- 在物理世界中，根据（也许是）连续性定律，除了这种变化以外没有其他事情发生。
我尽量以一般方式解释关于这一假说的双重屈折的规律，但是还没有得出任何确定到可以公布的结果。
黎曼也相信他的新几何会被证明具有科学上的重要意义。如他的论文结尾所表明的∶
因此，要么构成空间基础的现实必须形成一个离散的流形，要么我们必须在作用于它的约束力中，寻找在它之外的度量关系的基础。
对这些问题的回答，只能从构想已为经验辨明的现象（牛顿假定这种现象是基础）出发去得到，也可以从在这种构想中做它不能解释的事实所要求的相继变化去得到。
这引导我们进入另一门科学，即物理科学的领域，这项工作的对象今天还不允许我们进入这个领域。
黎曼1854年的工作赋予几何一种全新的观念，他想象的几何是非欧几何，但既不是在罗巴切夫斯基和约翰·鲍耶意义上的非欧几何，也不是在黎曼自己的钝角假设这一苦心之作的意义上的非欧几何，而是在一种依赖于度量概念的更广泛意义上的非欧几何。把度量关系孤立地作为黎曼理论的中枢，是对它的误解；这个理论包含的东西远比某种可操作度量原理为多，而这正是它的一个主要特征。对黎曼简明扼要的论文的任何解释，都不能说明这篇论文中的全部内涵；然而，我们将试图说明他的一些基本思想，我们将选择三点∶流形的概念，距离的定义，以及流形的曲率的概念。
一个流形是一类对象，所谓对象是指这个类中的任意一个成员，都能通过给它按确定顺序指定的某个数来完全确定，以反映这些成员元素的“可数”性质；而给定顺序的这种设计，则反映了这种“可数”性质原来就有的特性。即使这个说法甚至可能比黎曼的定义更难理解，但它仍然是据以开始的一个有效的起点，它在普通数学中相当于∶一个流形是一个有序的“n元”数组（x_i，x_2，…，x_n）的集合。两个这样的n元数组（x_i，x_2，…，x_n）和（y_1，y_2，…，y_n），当且仅当它们中的对应数分别相等时，这两个n元数组相等。
如果流形中的每一个这样的有序n元数组中恰好出现n个数，那么就说该流形是n维的。因此我们又回到谈论笛卡儿坐标了。如果（x_i，x_2，…，x_n）中的每一个数都是正整数，零，或负整数，或者如果它是任意一个可数集的元素，并且如果这对于该集合中的每一个n元数组都成立，那么就说该流形是离散的。如果数x_i，x_2，…，x_n可以连续地取值（如一个点沿着一条线运动那样），那么该流形是连续的。
这个定义忽略了这样一个问题∶有序n元数组的集合或者由这些n元数组“表示”的某个东西是否就是“流形”。这样，当我们说（x，y）是平面上一个点的坐标时，我们并没有问"平面上的一个点"是什么，而是着手使用这些有序数对（x，y），此处x，y独立地取遍所有实数。另一方面，有时候我们把注意力放在诸如（x，y）这样的符号表示什么上面是有利的。这样，如果x是一个人的按秒计算的年龄，y是他的按厘米计算的身高，我们可能对这个人感兴趣，而不是对他的坐标感兴趣，而我们探究的数学只关心坐标。按同样的想法，几何不再涉及“空间”“是”什么。对一个现代数学家来说，空间只是上面所描述的那类数的流形，空间的这个概念是从黎曼的“流形”中产生出来的。
黎曼在讲到度量时说，"度量由需要比较的量叠加组成。如果没有这一点，就只能在一个量是另一个量的一部分时才能比较了，那就只能决定量的多和少，而不能决定究竟是多少了。可以顺便说一下，某种前后一致而且有用的度量理论，目前在理论物理学中，特别是量子力学和相对论在其中具有重要意义的一切问题中，是一个迫切需要的东西。
黎曼再次从哲学的一般原则下降到不那么神秘的数学，着手制定了一个距离的定义，这是从他的度量概念中提取出来的，已经证明它在物理学和数学两方面都是富有成效的。
毕达哥拉斯的距离公式是
怎样把它推广到曲面上呢？平面上的直线相当于曲面上的测地线；但是在球面上，例如，对于由测地线形成的直角三角形，毕达哥拉斯公式不成立。黎曼像下面这样把毕达哥拉斯公式推广到任意流形∶
设
