是流形上两个点的坐标，这两个点是互相“无限接近”的。为简单起见，我们说明n=4时的意义，这个距离是：
的平方根。对于所有g的一种特别选择，就确定了一个“空间”。这样我们可以有，
所有其他的g是零。相对论中考虑的空间具有这种一般类型，其中除了g_11，g_22，g_33和g_44以外的所有g为零。
在n维空间的情形，邻近点之间的距离以类似的方法定义；一般表达式包含1/2n（n＋1）项。如果已知对于两个邻近点距离的推广的毕达哥拉斯公式，找出空间中任意两点之间的距离在积分学中是一个可解问题。一个其度量（测量体系）由上述类型的公式确定的空间称为黎曼空间。
曲率，如黎曼所表达的，是从普通经验得出的另一项推广。一条直线的曲率是零；一条曲线偏离直线程度的“度量”，在曲线上的每一点处可能相同（就像对于圆那样），或者也可能不同，此时就必须应用极限的办法来表示“曲率的大小”。类似地对于曲面，其曲率可由偏离平面的程度来度量，平面的曲率为零。这可以加以推广，并像下面这样使之更为精确。为简单起见，我们首先说明二维空间的情形，即我们通常想象的曲面那样的情形。由表示给定曲面上邻近点距离平方的公式
可知，可用给定的函数g_11，g_12，g_22来计算曲面上任意点曲率的大小。用普通语言谈论一个多于二维的空间的“曲率”是毫无意义的，但是黎曼推广了高斯的曲率，以同样的数学方式建立了一个在n维空间的一般情形中包含一切g，在内的表达式，它和高斯对于一个曲面的曲率的高斯表达式在数学上是同一类型的，这个推广的表达式就是他所说的空间曲率的测度。展示一个多于二维弯曲空间的形象化表示是可能的，但是这对直觉的帮助，大概就像给一个没有脚的人一对破拐杖一样无用，因为这对理解没有什么帮助，而且它们在数学上也是无用的。
黎曼把为了特殊目的（用于动力学，或纯粹几何，或物理科学）而创造的数目无限多的“空间”和“几何”，置于专业几何学家的能力范围之内，它把大量重要的几何定理，捆成能够很容易作为整体处理的紧紧的一束。黎曼的成就教会了数学家们不要相信作为人类直觉的必要模式的任何几何或任何空间。
最后，黎曼所定义的曲率，他为研究二次微分形式设计的方法，以及他对于曲率是一个不变量这一事实的认识，都在相对论中找到了物理解释。相对论是否到达了最终形式并不重要；自从相对论问世以来，我们对于物理科学的见解已不同于以往。没有黎曼的工作，科学思想的这场革命是不可能的，除非后来的某个人能创造出黎曼创造的概念和数学方法。
