垂直于轴心的平面把球面切割成互相平行的纬线(parallels)。纬线将会随着离极点越靠近而变得越短小。两极中间的赤道是相当特殊的一条纬线；它是所有纬线中最长的一条。其余的纬线皆位于赤道以北或以南，且并各由被称为纬度(latitude) 的角度（图中标示为绿色）确认。
除了两极之外，地球的每一点都是一条经线与一条纬线的交点，故我们可以给出每一点的经度与纬度。反之，若我们知道了地球上一点之经纬度数，就可以找到它的位置。
重要的是，我们需要两个数字方可确定地球上一点的位置。 所以，我们说地球表面是二维的。同理，桌子或是足球的表面也是如此。
当然，我们位在仅约为地表的地方而已！例如，人们搭乘飞机时，单凭经度和纬度就不再足以精准地描述出位置了……我们还要知道离地的高度。因此，如果想要确认我们在地球外层空间中的位置，就必须用上三个数字。 于是我们说空间是三维的。未来我们还会再提到这一点。
三、投影喜帕恰斯于本章第二部分中讲述了数学中最重要的概念之一，即投影(projection)。地球是圆的，但若我们想要编制地图册，我们会希望能将它表示于一平面（例如一张纸）上，以制作地图。
有很多种绘制世界地图的方法。一般而言，我们会先选定一地点 p，然后再将这点与平面上一点 F(p) 相配。如此一来，我们就将该地点于平面上表示出来了。地图学的精髓在于如何选定表示法 F；不同的选择将会彰显出一地域之不同的特征。等距映射将是最理想的选择。两点 p 与 q 之间的距离，与在它们经过等距映射之后被表示于平面上的两点 F(p) 与 F(p) 之间的距离，是完全一样的。但不幸的是，根本不存在这种映射，而我们只得想办法退而求其次。例如，有些映射可以尽量忠实地呈现出一些地形的样貌。地图学是一相当迷人的学门，其历史常与数学史同样地源远流长，又拜现代精准的测量法与电脑科技所赐，近来还获得十分重要的进展。
喜帕恰斯介绍给我们的映射有个深奥的名字：球极平面投影(stereographic projection)。时至今日，除了用于描绘极区之外，制作地图时已多半不采用球极平面投影了。不过，随着影片的进行，我们将会渐渐地理解到这种投影法于数学上有着深远的影响，且事实上极具用处。
它的定义很简单。我们考虑一与地球在南极相切的平面 P。对球面上(除了北极之外)的每一点 p，我们画出一条连接北极与点 p 的直线 pn。这条直线与切平面 P 交于另一点 F(p)。球极投影法就因而将球面（除了北极外）在平面 P 上表示出来了。
谁发明了这个投影法？这又是一个备受争议的话题…有些人认为是喜帕恰斯，又有些人觉得是托勒密，还有些人主张的确是喜帕恰斯发明的，但是他并不了解它的性质。
球极投影法有三个息息相关的基本性质。
▌第一个性质
球面上的一个圆经过球极投影法在平面上的变换是一个圆或一条直线。影片里清楚地说明了这个性质。如果您耐心地看到最后一章，您就可以知道其原因何在。
为了说明此性质，喜帕恰斯把地球放在切于南极点的平面上滚动。滚动会使南极点离开此平面。同时，投影也不再是由北极投射而下，而是从球体的「最高点」投射到接「最低点」的切平面上。虽然把地球这样滚来滚去的想法也许是不切实际的，但是我们可以因此得到一些很不错的投影图！
▌球极投影法的第二个性质
它保有原来的角度。意即，球面上任意两条曲线的交角皆不会随着投影而改变。这一点并没有在影片中被加以说明。
