图5 将探针与体系所有自旋耦合，用探针的自旋时间关联函数探测零点的实验数据 (a—c)温度从低到高时，探针探测到的关联函数曲线，其中等效温度Teff中的为材料中氢元素自旋相互作用系数；(d—f)不同温度对应的零点分布，对于实验中的伊辛模型，零点均位于单位圆上
事实上，零点的物理意义可以继续挖掘。笔者就利用零点的语言，以系统中粒子运动的轨迹为微观单元，发展了动力学相变理论，用以解释高压冰相图中不能用传统热力学解释的、一些扩散行为异常变化。其中，动力学相变就是用动力学系综的零点来严格定义的。此外，零点不止和相变相关。一些专著会强调，只有零点接近实轴(相变发生时)才会对可观测性质产生影响。但本质上，零点包含了系综的全部统计信息，知道了零点等价于知道了配分函数。这意味着我们可以有一个比当前更强大的杨—李理论，在零点视角下重写统计理论。笔者的另一项工作就指出，在临界点以上，即所谓超临界区域，即使零点已经离开实轴，其仍然决定了可观测的响应函数极值线。超临界区域长期被认为是连续不可分的，学界近期有类比相边界、以不同响应函数极值为边界的工作，但困扰于不同标准可生成各异的超临界边界，而杨—李零点在高维复空间的特性正好解释了这些现象。值得注意的是，基于数学表达式上的相似性，零点之于自由能，正如电荷之于电势，我们可以将零点分布理解成空间中的电荷分布，类比静电屏蔽和漏电现象，简单说明零点是如何影响相变和超临界区域的，如图6所示。
图6 杨—李零点(LYZ)可类比为无穷长的线电荷，横轴表示系综所受的外场，当系统处于平衡态时仅可取x轴的正半部分 (a)在相变区域，零点均匀分布在一个圆周上，并穿过实轴。此时圆周内外被静电屏蔽，里外物性各不相同且交界处不连续，包括自由能(类比电势)、序参量(类比电场强度)以及响应函数如极化率(类比电场强度梯度′)；(b)在超临界区域，零点远离实轴，此时圆周内外发生漏电。远离圆周处物性仍有较大区别，但在边缘零点(edgezero)处连续变化，并产生交汇现象(crossover)，响应函数存在极大值，此即为观察到的超临界边界
杨—李理论的洞察力不仅超越其时代，甚至还影响了时下量子物理的一些前沿课题。基于演化算符e与配分函数数学形式上的相似性，Marcus Heyl等人将时间类比为温度=-i。他们指出，横场伊辛模型的系统在经历淬火时，其洛施密特回波(Loschmidt echo)等物性会在时间轴上呈现出类似热力学相变的突变行为，即动力学量子相变(dynamical quantum phase transition)。定义这类新奇相变离不开对杨—李理论的精髓——解析性的理解。此外，零点探测在近些年也搭上了实验技术发展的快车。沿续前述我国首个探测工作的思路，美国的Alexander F. Kemper研究组利用中等规模量子计算机装置(包含数十个量子比特)，演示了一般性确定多体系统零点的方法。该方法具备硬件扩展性，只要量子比特数目继续增多，就能逐渐逼近热力学极限。另外，基于动力学量子相变现象，德国的Klaus Sengstock研究组也提出了不同的思路。他们发现，对光驱动晶体中自旋极化的费米子进行淬火，可在特定条件下诱导出动量空间中动态涡旋(dynamical vortices)，而后者对应于系统的零点。这些实验有助于理解零点的物理实在，但相较于杨—李理论蕴含的深刻物理而言，仅见冰山一角，笔者期待实验方面能有更惊艳的突破。
05 总 结
回想大学时代，课堂上那些基础物理学名词总给人一种简单而直观的印象，但很多概念背后隐藏着深奥的物理学原理和丰富的科研内容，需要我们在科研实践中逐步体会。2008年开始，笔者曾对玻恩—奥本海默近似有类似体会，进而基于其与玻恩—黄展开，进行过一些科学研究。2020年，另一个科学实践将我们的关注点转移至物质的“态”和“相”。基于这个科学实践，我们开始关注杨—李理论并基于其开展了一些工作。
历史的进程在曲折中前进，物质的“态”与“相”亦如此。在第一个阶段，人们通过对物质的存在形式及其转变的关注，逐渐认识到这两个概念的存在。在第二个阶段，铁磁相变及楞次—伊辛模型的求解发挥了关键的作用。而在第三个阶段，杨—李理论阐明了相变的本质，即实际体系的物性作为状态函数的函数解析性的变化。希望通过这个回顾，人们能够更加关注杨—李理论这一瑰宝，加深对物质的“态”与“相”以及“相变”概念的理解，以期未来利用杨—李理论产生更重要的成果。
注：
1)或者叫李—杨理论，1952年杨振宁和李政道两位先生合著的两篇文章为此方面的奠基之作。同年早些时期另有杨先生单独发表的一篇相关文章，奠定了算法的基础。
2)该模型通常被称为伊辛模型，笔者窃以为楞次—伊辛之称更能反映这背后完整的研究历程。楞次并未提供具体的计算过程，这也是尽管经过S. G. Brush等人在《现代物理评论》杂志宣传楞次—伊辛模型后(History of the Lenz-Ising Model, ，1967，39：883)，大家仍多称伊辛模型的最直接原因。但即使抛开楞次和伊辛的师生传承不谈，实际上该模型两个重要特质也分别来自两者，楞次基于早期量子论理论和晶体实验提出必须考虑离散的磁矩取向，伊辛则给出了相邻格点相互作用的形式并最终完成计算。
3)18世纪80年代，法国学者查理发现在一个特定的压强下改变温度，体积作为温度的函数是一条直线。19世纪初期(约1801、1802年)，英国化学家道尔顿、法国科学家盖吕萨克进一步指出，在理想条件下这个曲线的斜率与具体的气体无关。在盖吕萨克的工作中，他引用了之前没有发表的查理的工作。因此，这个定律被后人称为查理定律。
4)在一些教材上看到类似“人们用-、-、-定律推出理想气体状态方程”的论断，其实这三个定律在逻辑上只有两个是独立的。而要想得到理想气体状态方程，必须有个与物质的量有关的条件，也就是阿伏伽德罗定律。
5)这种努力一直持续到20世纪初。1908年，来自荷兰莱顿大学的昂内斯实现了氦气的液化。这不仅为低温物理研究提供了先决条件，也为他几年后发现超导现象奠定了实验技术的基础。
6)当时已经实现液化的分子，普遍临界温度比较高。这样它们在常温、常压下已经液化(比如水，临界点为647.3 K、22.1 MPa，温度高于室温)，或者比较容易通过某些操作到达临界点以下的温度，实现气体的液化(比如CO，临界点为304.1 K、7.4 MPa)。而像H、O，因为临界温度比较低，实现液化比较困难。
7)当时能够敏锐地意识到这个问题重要性的科学家并不多，主要包括来自美国的吉布斯、来自英国的麦克斯韦、来自荷兰的理论和实验学家范德瓦耳斯与昂内斯，以及他们分别带领的学术团体。
8)实际上这种早期的定义很难抓住这个词的关键。直到半个多世纪后杨—李理论提出后，才被冠以“函数的解析性”的内在。
9)施特恩等人对此提出了批评。主要问题在于朗之万和外斯的理论相当于以自由转动磁矩为单元的气体理论，且不说低温下气体分子可能早已结晶而凝固，其磁化方向的任意性也与固体的各向异性相违背。事实上，当时物质微观构成尚未解明，汤姆孙和卢瑟福在1897年和1911年分别发现电子和原子核，朗之万和外斯仅靠猜测就补足微观细节已难能可贵。
10)书名为，需要说明的是该书是玻恩早期的著作，虽然书名相似，但并不是1954年与黄昆先生一起完成的、我们更熟悉的那本经典著作。
11)原题为“Beitrag zum Verständnis der magnetischen Erscheinungen in festen Körpern”，该文主要研究了磁铁矿(主成分为FeO，空间群是Fd-3m，有四重轴)和黄铁矿(主成分为FeS，空间群是A2/a，有六重轴)中的磁性。
12)对于铁磁相，楞次有一些初步的想法。他设想相邻磁单元会因为相对取向关系而贡献不同的势能，适应于晶体结构产生定向偏好，进而导致自发极化。但楞次本人从未给出具体的相互作用形式。
13)伊辛于1924年完成博士学位论文，题为“Beitrag zur Theorie des Ferro- und Paramagnetismus”，即“对铁磁和顺磁理论的贡献”，但更为世人熟知的是他1925年发表的论文。
14)海森伯几乎是30年代之前唯一注意到伊辛结果的知名物理学家。但他不相信如此简单的伊辛模型竟已能完整刻画铁磁性，转而发展了基于泡利矩阵的、更为复杂的海森伯铁磁模型。再往后也仅有包括泡利、范弗雷克在内少数顶尖物理学家了解伊辛的工作。
15)获取零点信息大体上可以分为两类方法：直接探测和间接推断法。其中，后者相对容易实现，可通过实验或分子模拟收集系统信息，加以后期处理计算得到，代表为高阶累积量(high order cumulant)方法和态密度方法(构造近似配分函数并将其直接分解得到零点)。这些方法仍带有数学处理的意味，为更直观表明零点的物理实在，本文中所说的零点探测特指直接探测。
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来源：中国物理学会期刊网
编辑：悦悦
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