烧水问题
有这样一个问题：“假如你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些水应当怎样去做？”
被提问者答道：“在壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”
提问者肯定了这一回答，接着追问：“如其他条件不变，只是水壶中已有了足够的水，那你又应当怎样去做？ ”
这时被提问者很有信心地答道：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”
但是提问者说：“物理学家通常都这么做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称已把后一问题转化成先前的问题。”
【感悟】 数学家“倒去壶中的水”似乎是多此一举，故事的真正意义不是要我们“倒去壶中的水”，而是引导我们感悟数学家独特的思维方式——转化。
学习数学不是问题解决方案的累积记忆，而是要学会把未知的问题转化成已知的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题。数学的转化思想简化了我们的思维状态，提升了我们的思维品质。转化不是就事论事、一事一策，而是发掘出问题中最本质的内核和原型，再把新问题转化成与已经能够解决的问题。
两只羊的描述
草地上有两只羊，在艺术家、生物学家、物理学家、数学家看来却有不同的感受与理解，下面是他们的的描述。
艺术家：“蓝天、碧水、绿草、白羊，美哉自然。”
生物学家：“雄雌一对，生生不息。”
物理学家：“大羊静卧，小羊漫步。”
数学家：“1 1=2。”
【感悟】 从故事中不同职业的人对两只羊的描述，我们感受到艺术家对自然美的关注，生物学家对生命的关注，物理学家对运动与静止的关注，而数学家从色彩、性别、状态中抽象出数量关系：1 1=2，这是数学高度抽象性的体现。
苏格兰的羊
三位科学家从伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。
“啊，” 天文学家说，“原来苏格兰的羊是黑色的。”
“得了吧，仅凭一次观察你可不能这么说。” 物理学家道，“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰边境发现的。”
“也不对，”数学家道，“由这次观察你只能说：在这一时刻，这只羊，从我们观察的角度看过去，有一侧表面上是黑色的。”
【感悟】 著名的思想家培根说过：“数学使人精确。”故事中的数学家对苏格兰羊的描述充分体现出数学的严密性。数学是思维的体操，语言是思维的外壳，数学的理性思维是建立在数学概念、数学定理等数学语言的严密界定之上的。
