当杆一开始骨牌偏移了0.00001°时,所需时长(秒)为
进一步计算,当骨牌一开始偏移了0.00000001°时,所需时长为5.992040044021436秒;当一开始骨牌偏离垂直方向0.000000000001°时,所需时长8.394283464988997秒。
看,1米高的骨牌倒下需要8秒多,这已经大大偏离我们的经验认知了!!!
而且我们发现,当初始偏离角度足够小时,倒下的过程可以任意长,可以是几天、几个月、几年、几十年、几万年,乃至更长时间才倒落在地!!!
数学大大增加了我们对世界的经验认知,也可以让我们大大超越我们对世界的直观认知。这就是数学与人的不可抗拒的魅力吧!
上面谈到的内容其实已经触碰到了极限这个概念:
现在该理解了吧?
对比一下,如果是10米高的多米诺骨牌倒下,一开始偏离垂直方向1°,从静止到落地,所需时长(秒)大约
与前面1米高的骨牌情况做对比,得到结论:骨牌越高,倒下所需时长越长。
水平多米诺骨牌下坠时长是多少?前面一节中积分不可积,多米诺骨牌倒下的时长高度依赖于最初偏离垂直方向角度的大小。
下面我们来计算一个确定性的题:假定一开始多米诺骨牌水平放置,一段固定在某一个轴上,且可以无摩擦顺时针转动。
问题:从水平静止状态,释放多米诺骨牌的右端,多米诺骨牌开始绕O轴做顺时针旋转,骨牌多长时间旋转到垂直方向?