因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形,是处理数学问题重要的手段和工具,也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解,除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外,还应根据多项式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易,化繁为简,复杂问题迎刃而解,而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯,提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:
一、巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。
例1、因式分解:a-b 4a 2b 3
解析:根据多项式的特点,把3拆成4 (-1),
则a-b 4a 2b 3=a-b 4a 2b 4-1=(a 4a 4)-(b-2b 1)=(a 2)-(b-1)=(a b 1)(a-b 3)
例2、因式分解x 6x 11x 6
解析:根据多项式的特点,把6x拆成2x 4x;把11x拆成8x 3x
则x 6x 11x 6=(x 2x) (4x 8x) (3x 6)=x(x 2) 4x(x 2) 3(x 2)=(x 2)(x 4x 3)=(x 1)(x 2)(x 3)
二、巧添项:在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。
例3、因式分解x-3x 4
解析:根据多项式的特点,将-3x拆成-4x x,再添上4x,-4x两项,
则x-3x 4=x-4x 4x x-4x 4=x(x-4x 4) (x-4x 4)=(x-4x 4)(x 1)=(x 1)(x-2)
三、巧换元:在某些多项式的因式分解过程中,通过换元,可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式,会使问题化繁为简,迅捷获解。
例4、因式分解(x 3x-4)(x-x-6) 24
解析:(x 3x-4)(x-x-6) 24=(x-1)(x 4)(x 2)(x-3) 24
=(x-1)(x 2)(x-3)(x 4) 24
=(x x-2)(x x-12) 24
设y=x x-2,则x x-12=y-10 于是,原式=y(y-10) 24=y-10y 24
=(y-4)(y-6)=(x x-2-4)(x x-2-6)=(x x-6)(x x-8)
=(x-2)(x 3)(x x-8)
例5、因式分解(x y-2xy)(x y-2) (xy-1)
解析:设x y=m,xy=n,则(x y-2xy)(x y-2) (xy-1)
=(m-2n)(m-2) (n-1)=m-2mn n-2m 2n 1
=(m-n)-2(m-n) 1=(m-n-1)=(x y-xy-1)
=[(x-1)(1-y)]=(x-1)(y-1)
四、展开巧组合:若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可采取展开*合,然后再用基本方法分解,可谓匠心独具,使问题巧妙得解。
例6、因式分解mn(x y) xy(m n)
解析:将多项式展开再重新组合,分组分解
mn(x y) xy(m n)=mnx mny xym xyn
=(mnx xym) (mny xyn)=mx(nx my) ny(nx my)=(nx my)(mx ny)
例7、因式分解(mx ny) (nx-my)
解析:(mx ny) (nx-my)=mx 2mnxy ny nx-2mnxy my
=(mx nx) (my ny)=x(m n) y(m n)=(m n)(x y)
五、巧用主元:对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解,常以其中一个字母为主元进行变形整理,可使问题柳暗花明,别有洞天。
例8、因式分解ab ab ac ac bc bc 2abc
解析:这是一个轮换对称多项式,不妨以a为主元进行整理
ab ab ac ac bc bc 2abc=a(b c) a(b 2bc c) bc(b c)
=a(b c) a(b c) bc(b c)=(b c)[a a(b c) bc]
=(b c)(a ab ac bc)=(b c)[a(a b) c(a b)]=(a b)(a c)(b c)
从以上几例可以看出,因式分解题型众多,方法灵活,有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征,选用恰当的方法与技巧,不仅可以化难为易,迅速求解,而且有助于培养同学们的创新思维,有效地激发同学们的学习兴趣。