勾股定理
在图形的研究中，直角三角形是最为基础的，也是最为重要的。大概正因为如此，几乎所有的古代文明都研究了直角三角形，并且在许多古代文明的历史文献中都明确地记载了与直角三角形的边长关系密切的三个数值：3，4，5。在中国，这三个数值最早记载在《周髀算经》之中，书中说到，商高答周公：
勾广三，股修四，径隅五
这就是说，一个直角三角形，如果两个直角边（勾，股）的长度分别为3和4，那么斜边的长度为5。三国时代的赵爽注《周髀算经》时，对这个问题给出了一般的结果并对结果给出了证明。令两个直角边为a和b，斜边为c，那么三个边长之间的关系为
a2 b2=c2 (1)
我们称上述定理为勾股定理，并把满足上式的整数解称为勾股数，这是由三个整数构成的数组。在西方称这个定理为毕达哥拉斯定理，称这个数组为毕达哥拉斯数。显然，（3，4，5）是一组勾股数，并且是一组最小的勾股数。在尼罗河三角洲发现的，大约为公元前两千年的卡呼恩纸草书上有这样一个题目：
“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长为另一个边长的四分之三”
这个答案恰为一组勾股数（6，8，10）。古埃及人是这样得到结果的：如果b=1，那么a=3/4，于是由（1）式可以得到c=5/4。现在c=10，是5/4的8倍，这样就可以得到结论：a=(3/4)×8=6,b=1×8=8。这里用到了“两个三角形相似当且仅当这两个三角形的对应边成比例”这个命题，而这个命题却是我们今天初中数学教学的难点之一，那么古埃及人是如何直观地得到这个命题的呢？我想，大概是巧妙地应用了勾股定理，我们对这个问题分析如下：
在我国初中数学的“图形与几何”的教学中，关于相似形，只给出了多边形相似的定义：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则称这两个多边形相似。显然，这个定义没有回答存在性，即没有给出“对于任意给定的边之间的相似比例，相似多边形都是存在的”这样的命题。这样，把多边形相似的定义应用到三角形时就出现了问题，因为对于两个三角形相似，只需要对应边成比例。这意味着，两个对应边成比例的三角形，对应角也一定相等，但是，要证明这个命题却是相当烦琐的，这也是现在中学数学教学中比较难处理的问题之一。现在，我们尝试性地回归古埃及人的思考。
首先，古埃及人清楚地知道：一个三角形是直角三角形当且仅当勾股定理成立，也就是说，不仅知道直角三角形地三个边长满足（1)式，而且知道边长满足（1）式的三角形是直角三角形。甚至很多数学史的专家认为，古埃及人在修建金字塔时，就用了（3，4，5）这组勾股数来决定直角。那么，对于两个三角形Δ1和Δ2，假设边长分别为a,b,c和A,B,C，如图（1）（a)所示：
如果Δ1是直角三角形，并且与Δ2的对应边之间成比例，即a/A=b/B=c/C，则由勾股定理知道Δ2也是直角三角形，并且角α与角β相等，这样就可以得到图（1）（b)。于是得知这两个直角三角形相似，即直观地得到“两个直角三角形的对应边成比列则这两个三角形相似”这样的命题。因为任意一个三角形都可以化为两个直角三角形，因此也不难得到“两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似”的一般结论。
在上面的计算中，用到了直角三角形的边角关系，即在图（1）（a)中有
∠α=∠β 当且仅当b/a=B/A (2)
可以看到，上式构建了三角函数的直观基础：在任意两个直角三角形中，如果有一个锐角相等，那么这两个直角三角形的直角边之比就对应相等，也就是说，等角对应的直角边之比是一个常数。于是，人们可以定义这个常数值，比如称其为正切值，即（2）式右边的比值恰为角α（因而也为角β）的三角函数正切值。可以看到，因为生产实践的需要，古埃及人已经创造出许多计算图形长度，面积，体积以及边角关系的方法，但是，更让人们吃惊的却是在两河流域的发现，有的学者认为，在公元前1600年以前的古巴比伦人就已经作出了三角函数的正切表，这当然与勾股数有关。
古巴比伦
奔流不息的底格里斯河和幼发拉底河发源于现今的土耳其，流入波斯湾，这两条河流浇灌出了美索不达米亚平原，也养育了两河流域文明。公元前19世纪，在这片土地上曾经建立了一个强盛的巴比伦王国，其首都在巴比伦城，因此人们也称这里的文明为古巴比伦。事实上，两河流域文明延绵三千多年，古巴比伦是两河流域文明最重要的组成部分，但不是全部。关于巴比伦城，希罗多德在《历史》这部书中是这样描述的：
“这座城市位于一个大平原之上，形状是正方的，每一面有120斯塔迪昂长，因此它的周围就一共是480斯塔迪昂了。这座城市的幅员有这般大，而它的气派也是我们所知道的任何城市所难以相比的。
有一条河从中间把全城分成两部分，这条河便是幼发拉底河，这是一条又宽又深，而且水流湍急的河流。它发源于阿尔美尼亚，流入红海”
希罗多德
其中长度单位一个斯塔迪昂大约为211-224米，如果希罗多德的记载是可靠的，那么古巴比伦城一面的长度大约为26千米，整个城市的占地面积大约为670平方千米，相当于现在的新加坡，这确实是一个相当大的都市。但是，希罗多德《历史》中的许多记载都是不可靠的，不像司马迁的《史记》那样经得起推敲。
我们已经说过，两河流域的人们把楔形文字刻写在泥版上，在已经发现的几十万块泥版中大约有300快是与数学有关的，其中包括一些数表，比如乘法表，倒数表，平方表和立方表。其中有一个被称为“普林顿322”的泥版，记录了15组勾股数。我们知道，即便是在今天，能够计算出15组勾股数也不是一件容易的事情，而这项工作却是在公元前1900-前1600年的古巴比伦时代完成的，实在是令人感叹。
现代科学技术已经相当发达了，但勾股定理在今天仍然有着广泛的应用。这个应用是基于下面的几何直观，如图（2）所示：
图（2)
我们把直角三角形的斜边看作二维空间的向量c→，那么向量c→向直线L（一维空间）上的投影恰为a→，也就是说，对于直线L上的任何点d，都有
||c→-a→||≤||c→-d→||
这就说明在低维空间L中最接近c的点为a，也就是说，如果要用低维空间的点来代替c，那么最合适的点就是a。我们可以把这种想法推广到一般，即用勾股定理的方法把高维空间的一个向量c→投影到低维空间L上去，这就为处理大规模数据，或者处理多维参数模型提供了强有力的数学工具。
我们看到，在日常生活和生产实践中，古埃及人，古巴比伦人以及古代中国人创造出了如此实用，如此丰富多彩的经验几何学，但是他们没有在一般的意义上对创造出来的知识进行归纳与抽象，因此也没有总结出几何学的一般概念和原理。事实上，对应图形进行高度抽象从而建立了几何学的是思维严谨，善于雄辩的古希腊人。
