在音乐上，频率共振会带来和谐和美感，但无理数的出现却带来了一些尴尬及无奈。基音——比如C音，频率为261Hz——确定以后，高八度就是C的频率的两倍522Hz。从C到高音C之间，如何确定其它音阶的频率是一个非常有趣的问题。
两个共振频率放在一起会令人听起来爽心悦耳，3/2是仅次于2/1共振的最为简单和纯粹的共振。按照毕达哥拉斯创建的“五度相生律”，如果基音是C，纯五度则定为C频的3/2倍；纯四度定为C频降3/2后再乘以2，也就是C的4/3；纯二度定为3/2平方除以2；纯六度为3/2的立方除以2。八度的其它音级的频率都是以类似的五度相生而产生。
由“五度相生律”所产生的八度可分为十二个音程，音程之间距离并不相等。现代音乐为了便于基音的改变和转调，不得不把八度平均分成十二个半音音程，使得各相邻两音之间的频率之比完全相等，如此得到的即是所谓的“十二平均律”。十二平均律基音改变以后音阶的比例也会完全一致。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。
但非常遗憾的是，十二平均律半音的频率比为2的1/12次方，是一个无理数。而且每两个音的频率比，除了高八度外，都是无理数。比如，纯五度音程的两个音的频率比为2 的7/12 次方，是个无理数，大约等于1.4983，和自然泛音序列的1.5有些差别。同样，其它和弦音符都跟“五度相生律”序列中的几个音符不一样。所幸的是，纯五度、纯四度、大三度等在十二平均律中和3/2，4/3，5/4非常接近，常人听不出什么区别。正因为如此，小号等靠自然泛音序列定音的按键吹奏乐器得以在交响乐队演奏，而没有明显的违和感。
最后，关于无理数的性质有很多有趣的数学问题。比如，黄金分割是所有无理数中最“无理”的无理数。有意思的是，无理数不仅存在，而且事实上比有理数多得多。
——2018.7. 深圳
我们用反证法。假定
是有理数，也就是说
