当m=n时,雅可比矩阵妥妥地变成一个方阵,该方阵的行列式则可称为雅可比行列式。
雅可比矩阵重要之处在于它能够体现一个可微方程与给出点(设该点为点A)的最优线性逼近,因此雅可比行列式可用于求解点A的微分方程组的近似解。
如下图所示,映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形,其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似,而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。
图一,源自: Wikipedia
简单来说,在n维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响,代表着变换后的缩放比例,而雅可比行列式也不例外。
就拿图一来讲,图中的映射并非线性,但其微元变换实际上可以看做是线性的,因此雅可比行列式实际意义就是坐标系变换后单位微元的比率或倍数。
现在让我们以二维空间为例,看看究竟怎么一回事。
设f=(x,y),其中x=x(u,v),y=y(u,v),可求得偏导数分别为:
那么函数的雅可比矩阵为: