走近数学（4）
—— 数学与智慧之三（充分必要条件）
冯跃峰
本文介绍“充分条件与必要条件”在生活实际中的应用。
寻找使问题结论成立的一个充分条件，是数学处理问题的常见的思维策略。这一策略在处理生活中的相关问题时，常常能收到出奇制胜的效果。
我们举几个例子来说明。
例1、宋徽宗赵佶喜爱书画，创建并主管了世界上最早的皇家画院。他虽为昏君，倒是一位杰出书画家。他开设画学，亲自授课，建立考试制度，亲自出题批卷，培养绘画人才，开创了一代画风。当时画院的考试标准是：笔意俱全。
有一次考试，他出的一个题目是“深山藏古寺”。
在众多的应试者中，有的在山腰间画座古庙，有的把古庙画在丛林深处，有的只画山而无寺，有的则只画了寺庙的一角。他看了很多幅，都不满意。
就在他感到失望的时候，有一幅画深深地吸引了他，这幅画别出心裁，画了一个小和尚，挑着一担水沿着弯弯的山道拾级而上。
这幅画作得到宋徽宗的连连称赞：“好，好，这才是‘魁选’之作呀！”
后人对这幅画作也极力推崇与赞赏，认为它构思奇特，画中没有庙，只有一个挑水的和尚，就把“深山藏古寺”这个题目表现得淋漓尽致。画家过人之处，未见得是绘画技术，而是他精巧的构思，能启发别人的联想。
然而，从数学的角度看，他的这一构思其实也是很简单的：他采用的技巧，不过是将所画内容，更换为“藏古寺”的一个充分条件。
因为由“挑水上山的和尚”，必然推出山中的寺庙。正因为寺庙是由和尚“推理”出来的，从而巧妙地实现了“藏”的效果。
下一个例子，与之有异曲同工之妙。
例2、试以“风”为题写一首诗。
下面是唐朝诗人李峤写的诗《风》。
解落三秋叶，能开二月花。过江千尺浪，入竹万竿斜。
这首诗获得大家的一致好评。全诗仅仅20字，且通篇没有一个风字，却把将风的形象与力量完美地呈现在我们面前。
四句诗描写的都是“风”的功能。具体地说，前两句描写了季节的更换：风扫落叶，预示着万物开始凋零；风开百花，预示万物复苏，春色满园。
后两句展现的则是风的形象与力度：狂卷千尺浪，猛推万竿斜，可见风有多大的威力！
然而，从数学的角度看，他的这一立意其实也是很简单的：他采用的技巧，不过是将所描写内容，更换为起“风”的若干个必要条件。
因为有风，就可以吹落秋叶；因为有风，就可以摧开春花；因为有风，就可以卷起江浪；因为有风，就可以推竹倾斜。这些现象，都是“风”的必要条件，多个必要条件凑在一起，就形成了“风”的景象。
无独有偶，还有一首诗，采用的是同样的手法，其诗如下：
忽听门外竹声摇，杨柳江边摆尾梢，东园叶落西园地，楼花扯起万丈高。
姑且不论这首诗的意境如何，其手法与上一首完全一致，也是描写 “风”的一些必要条件。
由以上两例可以看出，当我们不想或不方便直接描述某些对象或现象时，可将其用“充分条件”或“必要条件”来代替，常常能产生独特的效果。
例3、从前，古印度有一位皇帝很自负，有一次他郑重其事向天下臣民昭告：如果有臣民能讲一个故事他没听过的，他就会将自己的女儿嫁给他。此话一出，引得全国男人蜂拥而至，尤其是朝内贵族公子每天都准备好了精彩故事献给皇帝，每一次别人讲完故事皇帝都说听过了，讲故事的人自然也就娶不到皇帝的女儿。但因为可以见到皇帝，人们还是乐此不疲，皇帝也玩得很高兴。
有一天，来了一位很聪明的农民，他讲了一个故事，皇帝不得不说“没听过”，老老实实地把女儿嫁给了他。
你知道那位农民讲了一个怎样的故事吗？
在介绍答案之前，我们来分析一下问题。
我们的目标是：讲一个故事，使皇帝不得不说“没听过”。
这相当于故事中含有一个充分条件，在这个条件下，可推出皇帝的回答只能是“没听过”。
从反面思考，这也就是说，若皇帝的回答“听过”，则对皇帝更为不利。这也就意味着，皇帝回答“听过”时蕴含了比嫁女儿更吃亏的事。
这样，只需一个事件，使皇帝“人财两空”。于是，可在故事中构造这样一个“陷阱”，让皇帝既要嫁女儿，又要付出钱财。比如，虚构一个人说过：让皇帝把女儿嫁给他，并付给他金币。
当然，故事中光有这一情节是不够的，因为皇帝不一定“听那个人的话”。现在，再找一个充分条件，让皇帝必须听那个人的话。这只需“那个人的话”是先皇留下的“遗嘱”即可。再注意到皇帝父亲可能还健在，于是可构造虚拟的遗嘱是皇帝爷爷留下的。
这样，皇帝如果回答说“听过”，那他就必须执行爷爷的遗嘱，皇帝当然不会这么做了。
于是，那个农民讲了这样一个故事——
他跟皇帝说：“我说一个真实的故事给陛下您听，不知您有没有听过？”
皇帝很好奇，马上叫他说。这位农民说：“陛下，从前你爷爷和我爷爷是非常要好的朋友，他们一起玩耍，一起做生意，那时我爷爷很有钱，你爷爷因为做生意向我爷爷借了100块金币，他向我爷爷许诺，发达之后，要您将金币还给我并将你女儿嫁给我。陛下，这个故事您有没有听过啊？”
皇帝听后，一下哑口无言，只好乖乖的将女儿嫁给他。因为皇帝如果说听过，按照他爷爷的许诺，不但要还金币而且要嫁女儿，所以只能说没听过，也就把女儿嫁给了他。
其实，虚构的故事有很多可能，只要虚构一个皇帝决不允许发生的遗嘱即可。皇帝最不愿发生的事情当然是别人篡夺皇位，据此，我们草拟了另外一个“故事”如下：
我爷爷曾救过您爷爷的命，为了感恩，您爷爷承诺：如果我有机会与您面对面交谈，那么，您应当将皇位让给我。陛下，这个故事您有没有听过啊？
