求特征向量例题,特征向量怎么求举例说明

首页 > 教育 > 作者:YD1662024-06-15 15:23:00

给出两个向量(3,-1)、(-1,3),如下图:

求特征向量例题,特征向量怎么求举例说明(1)

现在,我们玩个小游戏,按住向量(3,-1)的Y轴坐标不动,随意改变它的X轴坐标,相当于下图中的箭头在直线Y=-1上滑动;按住向量(-1,3)的X轴坐标不动,随意改变它的Y轴坐标,相当于下图中的箭头在直线X=-1上滑动。问,如果两个箭头滑动的正负方向和数量是相同的,有没有可能两条向量线段变为共线?

求特征向量例题,特征向量怎么求举例说明(2)

如上图,滑动后的向量线段为(3-t,-1)、(-1,3-t)。要判断两者能不能共线,只要使两者的斜率相等,即(3-t)/-1=-1/(3-t),再看看t有没有解就可以了。解得。

写到这里,我们可以引入特征值和特征向量的定义了。

设是阶方阵,如果数和n维非零向量x使关系式成立,那么,这样的数称为方阵的特征值,非零向量称为对应于特征值的特征向量

式,也可以写作。

可以看得出来,特征值就是上面提到的未知数。

同时,是包含两种未知量(特征值和特征向量)的齐次线性方程组,但是,因为中非零向量,则有行列式。

这是一件很有趣的事情,齐次线性方程组中另外包含着一个一元多次方程,这就使得整体求解的过程变得简单了。

例: 求矩阵

求特征向量例题,特征向量怎么求举例说明(3)

的特征值和特征向量。

解:A的特征多项式为

求特征向量例题,特征向量怎么求举例说明(4)

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