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感数——一个不被人重视的概念
尽管婴儿生来就具有与在老鼠和黑猩猩身上表现出的相同的基本数感，但他们拥有能将他们与其他动物迅速区分开的两种运算能力。一种是数数能力，另一种是使用和操作表征数量的符号的能力。
至少对于小数字，小茹已经能够抽象地理解数数了。她可以把三个火车头对应到1、2、3或者1、3、5，而且，她可以数数。这就是说，她把数东西应用到了数数字。发展如此复杂的数数需要什么概念和技能呢？大多数年幼儿童是如何理解数数的？他们还可以学习什么？
早期的数知识包括很多相互关联的方面，其中四个方面尤其突出。第一，小数量的识别与感数；其他三个方面都与数数有关。第二，学习10或者10以上有序排列的数词，即唱数。第三，点数物体，也就是说数词与物体一一对应。第四，理解数数时说出的最后一个数字表示已数的物体数量。（还有很多方面，包括用日渐复杂的数数策略进行问题解决。）儿童通常通过不同的经验学习这些技能，但是逐渐在学前期把它们联系起来。今天，先探讨一些关于感数的问题。
一、感数的概念
人在识别一小组物体数量的能力是先天数感的一部分，它不需要数数，因为数量能被快速地识别出来。研究者称这个过程为感数。
先天的视觉加工系统使儿童能够知道“一堆”物体的数量，他们不需要精确地“数”就能又快又准地确定4个或更少的物体数量。但随着集合中物体数量的增加，感数的精确性就会逐渐丧失。随着物体的增多，加工速度就会减慢，因此人们便会放弃感数而转向数数，或是基于从集合中辨别出的视觉形态进行估计。为什么会这样呢？这可能是因为感数是一种原始的大脑加工过程，而数数则涉及更复杂的操作。
最近的研究成果是，在被试感知1~4个物体时，大脑的视觉皮层区域被激活，而与注意力相关的区域未被激活。然而，当数5~8个物体时，被试众多的大脑网络被激活，包括涉及视觉注意力的大脑顶部区域以及与认知加工有关的大脑前部区域。这些研究表明，感数是一种低等的潜意识操作（神经科学家称之为前注意），而数数则激发了重要的大脑皮层活动。
图显示了感数和数数的差异。看一下A箱和B箱，不需要数，你的眼睛便能快速检测到箱子中2个和3个物体之间的不同。C箱中有多少个点呢？ D 箱呢？你可能不得不依靠数数来确定每个箱子里点的数量。这表明感数是学习数数技能的先决条件。我们应该更密切地关注感数并搞清楚增强这种技能是否会帮助儿童更容易地学习数数。
二、感数类型
克莱门茨（Clements,1999）描述了两种类型的感数：感知性的和概念性的。感知性感数是指不需要进行其他数学加工便能感知数量。若你"只是看看"在一个小集合中有多少物体，你使用的是感知性感数。如，你能够看见纸牌上的三个点并且迅速说出"3"。这三个点是同时被直观感知到的。
就像看到图中A 箱和B箱时的反应。感知性感数也有助于儿童将集合中的物体分成一个一个单位，然后将每个单位跟一个数词相连接，这样就发展出了数数的过程。
概念性感数是人们通过识别某一种相似模式来获知集合的数量，如多米诺骨牌上点的排列。还有其他的类型，可能是触觉模式的，如使用“手指”解决加法问题；或者节奏模式的，如每次数数都用手一个一个地敲打出来。
研究表明八个点超越了感知性感数的极限，那么儿童又是如何看见多米诺牌上的八个点并且"刚好知道"总数的呢？这时你使用的是概念性感数﹣﹣先看到“部分再组合成整体”。也就是说，你把多米诺骨牌的一个面看作由四个点组成的部分，也就是"一个4"；把整个多米诺骨牌看作由两组四个点组成的整体，也就是"一个8"。这依然是感数，只是整个过程发生得非常迅速，通常很难被意识到。
感数的另一种分类方式是以被感数物体的种类为分类标准的。如多米诺骨牌的例子就是一种空间模式。除此之外，还有时间和动觉模式，包括手指模式、节奏模式和空间听觉模式。
通过概念性感数，创造并使用这些模式可以帮助儿童发展抽象的数和计算策略。如，儿童在接数时使用时间模式："我知道还有三个，所以我只要数9……10,11,12"（有节奏地三次使用手指，每一拍都数一个数）。儿童还会运用手指模式计算加法问题。
如，3 2，儿童会竖起三根手指，然后再竖起两根（有节奏地一根一根竖起），把最终竖起的手指作为答案"5"。不能进行概念性感数的儿童一般在学习这类计算的过程中存在障碍。尽管开始时儿童只能感知很小的数量，但这却是进一步建构更加复杂的大数计算程序的"垫脚石"。
三、部分——整体关系的理解
学习基本的数学运算可能会遇到问题。这种与生俱来的感数能力可以通过练习得到强化吗？答案是肯定的。你将在第四章中找到有关学习感数的建议。
加强感数能帮助4岁儿童理解部分——整体的关系。因此，学龄前和幼儿园的学生应该在各种背景下探讨分解数字的不同方式。如果数字小且活动有意义，部分和整体的观点可以在儿童早期就引入。随着学生能够更好地将“数字分解”，甚至可以不加思索地又将它们合并，他们就增强了操作小数字的熟练性，这有助于他们以后处理较大的数。
先介绍两个对于无需数数的量化观念（即感数）至关重要的概念是共变和补偿。
共变：是指当整体数量中的某一部分增加（减少）时，整体数量就会增加（减少）。
例如：２块饼干与３块饼干合在一起的５块饼干，其中一部分“２块饼”增加一块，变成３块时，整体数量“５块饼干”也增加了一块，变成６块。
补偿：是指从某一部分中移除某些项目，并将它们添加到其他部分时，整体数量不变。
例如：２块饼干与３块饼干合在一起的５块饼干，其中一部分“２块饼”移除一块，变成１块时，移除到另一部分“３块饼干”里时，另一部分就增加了一块，变成４块。
研究表，4岁的儿童就能够给出涉及共变和补偿问题的正确答案。
此外，他们能给出恰当的理由来证明他们的答案。这些结果证实了这个观点，即孩子需要经验提醒他们注意到部分和整体的动态关系，以及当改变部分时对整体的影响。
理解部分——整体关系对学习数学非常重要，数数是一个有效的工具，但它不一定是发展部分——整体认识的第一步。幼儿教师在帮助学生意识到数字是由其他数字组成的以及如何用部分——整体的关系来解决问题方面具有重要的作用。
通过视觉化可加强感数概念，最终将有助于学生发展加法和减法思维。通过意识到两个苹果加两个苹果等于四个苹果，视觉信息学生看到了加数与和。一些学生可能会预先数一或两个数，通过说"3,4,5"来解决3 2的问题。数一或两个数强化了学生如何数数的概念。然后，通过发展感数概念，他们能够学习数更大的数。
研究表明，对成人来说，能够感知到的物体最大数量大约是5。然后，我们不得不利用超出感数的能力来处理数量，数数就变得非常必要。但要记住，那些提高感数能力的练习有助于学生更容易地掌握数数和操作基本运算所需的数字。
四、部分——整体认知训练
儿童在日常生活中获得对部分和整体的一些理解和兴趣，这些日常经验是儿童以后学习分数的基础。幼儿能够形成整数感，通过将物群划分更小部分等方式表征整数。他们应当理解和表征经常使用的分数，如，和。他们了解到物品和自己的身体都是由独特的部分组成的。整体可以分成部分，部分可以构成整体。
他们学习某些事物的构成部分。
身体各部分（胳膊、腿、头）
汽车各部分（发动机、车门、方向盘、车座）
房子各部分（厨房、浴室、卧室、起居室）
椅子各部分（椅子面、椅子腿、椅背）
他们学习一组物品是可以分开的。
·他们分发饼干。
·他们用纸牌玩拉米纸牌游戏。
·他们给每一个小朋友一件玩具玩。
·他们把积木分开，这样每个小朋友都可以搭建房子。他们学习整体可以分成部分。
·一块饼干可以分成两半。
·一个橘子可以分成多瓣。
·一根胡萝卜或一根香蕉可以分成多段。
·一瓶苏打水可分成两杯或多杯。
·一张大纸可裁成多张小纸。
儿童通常关注他们看到的事物的数量。2岁的冰冰把饼干掰成多块，对只有一块完整的饼*芸芸说：“我的比你的多。”冰冰不明白虽然他有许多块饼干，但他的并不比芸芸的多。
小娟女士拿出一个苹果，问王悦：“我有多少苹果？” “1个。”王悦回答道。小娟接着说：“看这里。”她边说边把苹果切成两块，问：“我现在有多少苹果？”王悦回答说：“两个！”
而随着儿童进人具体运算阶段，他们能认识一个苹果永远是一个苹果，无论把它切成多少块。
儿童能够逐渐理解整体是由部分构成的。他开始认识到各部分的大小和数量可能是相同的，也可能是不同的。他比较事物的数与量，形成多、少和一样多的概念。这些概念是儿童进入小学学习分数的必要前提。对多、少和一样多的理解有助于儿童认识整体可以分成相等的两个或多个部分，而部分合起来后的总量不变。
五、感数与数学
感数能力虽然很早就开始发展，但是它并不是一种"简单基础"的数学能力。感数引入的这些基本的基数概念——“有多少”、“多”和“少”、部分和整体及其关系、初步计算，以及一般所说的数量概念。创造和使用概念性感数模式有助于儿童掌握数数所需要的抽象数字和算术策略。那些不会概念性感数的儿童创造和使用概念性感数模式有助于儿童掌握数数所需要的抽象数字和算术策略。这些概念共同发展，彼此相关交织，为小学、中学、高中甚至更高层次的数学学习奠定基础。
主要参考材料：
《人脑如何学数学》【美】戴维A.苏泽 著
《３－８岁儿童的数学经验》【美】罗莎琳德·查尔斯沃斯 著
《儿童早期的数学学习与教育》【美】道格拉斯·H.克莱门茨，朱莉·萨拉马 著
向所有参考材料作者表示感谢！
