《比例的基本性质》教学设计
【教材分析】
从知识的整体构架及内容关联性角度出发，为减缓学生认知坡度，本课内容是在学习比的意义及组成、化简比、求比值等概念基础上，并以比例的意义为生长点进行知识深化和发展。并且，为后续学习解比例、以及比例的应用（比例尺、用比例解决问题、图形的放大与缩小）等知识做铺垫。教材首先介绍组成比例的各部分名称，然后通过观察与验证发现规律：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，并利用比例的基本性质判断比例是否存在。因而，“比例的基本性质”是“数与代数”和“空间与图形”不同领域知识的有机融合，教材内容真正发挥数形结合的作用，进一步体会比例的意义。
【设计理念】
本节课的设计是采取“自主探究”的教学模式，教学中贯彻自主性原则，重视学生学习和探索过程及情感体验。具体来说：在探究计算的基础上，利用已知知识，依据问题线索，利用不完全归纳法与完全归纳法相结合的数学思想方法，展开层层探究，使得学生发现新问题、探索新知识，并在教师有效引导下，归纳出规律性的结论。整体教学过程注重加强对新知的严谨性与逻辑性理解，侧重培养学生自主探究的精神。
【教学目标】
1.认知比例各部分的名称，探索、理解并掌握比例的基本性质，会利用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。
2.通过观察、猜想、交流、分析、验证、归纳等数学活动，让学生经历比例的基本性质探究过程，渗透有序思考、不完全归纳法与完全归纳法等数学方法，感受变与不变的数学思想，发展学生思维能力。
3.体会比例基本性质的应用价值，进一步发现探究学习的快乐与价值，培养学生勇于探索的学科精神与合作意识。
【教学重点】
理解比例的基本性质，能正确判断两个比能否组成比例。
【教学难点】
探究及应用比例的基本性质。
【教法】
本课采用探究法、讨论法、发现法等教学方法，以学科的基本构架为基础，放手让学生根据自身学习体验和思维方式，通过观察、计算、探究、讨论、比较等方式，自由地、开放地去探究、去发现、去创造，促进学生创新精神和实践能力，提升核心素养。
【学法】
自主学习法：让学生通过发现寻找问题，层层探究，归纳和判断两个比能否组成比例，充分发挥学生的主体作用。
发现法：在教师的引导下，学生采用不完全归纳法与完全归纳法综合演绎知识的推导过程，并利用观察、发现、思考并逻辑验证等过程发现及应用“比例的基本性质”。
合作讨论法：《数学课程标准》（2011版）重视学生间的合作与交流。如在探究、发现、揭示比例的基本性质过程中，充分发挥学生合作交流与协同发展；同时，提升学生的表达能力与协作能力；有利于发挥集体智慧和个人核心素养。
【学情分析】
本班学生基础能力中等，平时上课发言的学生不是很多，对于学习内容《比例的基本性质》的学习是第一次接触，因而，
注重挖掘概念内容，构建知识体系；同时，拓展概念外延，提升知识应用。同时，考虑本课知识内容难度不大，学生领会能力和掌握情况应该比较完备。
【教具准备】
数字卡片、多媒体课件
【教学预设】
一、复习旧知，嫁接支点
师出示数字卡片“2、3、4、6”。
（一）师：同学们，能利用上面的数字创设比吗？
学生创设比（如2：3）。
引申问题：如何创设比？
生：随意两个数字中间填上比号。
（二）师：同学们，还能创设比例吗？
生尝试调换数字位置，创设比例。
学生试写。预设：
6:3=4:2
4:2=6:3
3:2=6:4
2:3=4:6
师生通过创设比例，引申思考：是不是随意在四个数中填上比号和等号，就可以形成比例？
1.问：怎样找到比例？
学生讨论，发现检验两个比是否组成比例的方法：
方法一：利用“求比值是否相等”寻找比例；
方法二：利用“化简比是否相同”寻找比例。
发现：比和比例是数学中两个不同概念；但是，可依据比找到比例，因此，比与比例既有区别也有联系。
2.问：通过创设比例，你还发现什么规律？
学生汇报由“2、3、4、6”创设的比例种类具有多样性特征。
师：是不是任意摆放“2、3、4、6”数字，都可组成比例？
学生举例反驳，如3:2≠4:6。
问：同样是“2、3、4、6”四个数，为什么有的时候能组成比例，有的时候却不能组成比例呢？
猜想：是否形成比例，除了与数字本身有关，还可能和“2、3、4、6”的摆放位置有关。
【设计意图】
本课以问题串的形式经历知识的寻找与发现过程，感受“数的位置”对于形成比例的显著性效应。由活动中寻找比到发现比例，自然流畅地使学生带着问题主动联系旧知了解新知。即：对旧知进行针对性练习，辨析“比和比例”的区别与联系，紧扣新旧知识的联系点，环环相扣使“提问环节”真正成为教学过程中有意义的建构活动，促进知识的迁移并揭示课题，并为后期学习做好知识铺垫，提高课堂教学的实效性。
二、合作探究，建构模型
（一）直奔主题，铺垫新知
引入：为了方便研究比例中“数的位置”特征，首先，认识比例
中各部分的名称。
师：比有前项与后项，那么，比例和比一样，各部分也有名称。
以2:3=4:6为例：
组成比例的四个数“2、3、4、6”称为比例的项。
两端的两项叫做比例的外项。
中间的两项叫做比例的内项。
师生练习：指出下列比例的内项和外项。
0.6:0.2=2:2
36
7=12
14
学生做一做，结合实例指出比例中的外项和内项，并说明其特征。
总结：
1.比例的每一项不仅可以是整数，还可以是小数、分数等；
2.把比例改写成分数形式，仍可找到比例的外项和内项。
（二）探究发现，验证归纳
1.发现比例的基本性质
引导：请利用刚才所学知识分辨各比例中的外项和内项，思考“数字位置”特征有什么规律吗？
学生讨论交流，发现：
2和6总是以一样的角色出现在比例中：若把2放在外项位置，那么6必定放在外项位置；若把2放在内项位置，那么6也必定放在内项位置。同理，3和4也一样，总是在比例中具有相同角色，不是内项就是外项。
即：2和6为外项时，则3和4为内项；
2和6为内项时，则3和4为外项。
师：如果把2与6、3与4分别看成一个整体，那么，这两个整体之间存在什么关系呢？
学生小组讨论，交流汇报。
总结：比例的外项与内项确实存在一种相等关系。
即：2×6=3×4（外项之积=内项之积）
问：发现的规律是不是比例中的偶然现象呢？其他比例也存在这样的规律吗？
2.验证比例的基本性质
（1）不完全归纳法验证
学生合作验证，教师提出注意事项。
注意事项：①前后4个同学为一个小组；
②小组用提前准备好的比例验证规律；
③通过举例验证，得出什么结论？
学生汇报验证结果。
结论：在比例中，外项之积=内项之积。
（2）完全归纳法验证
生：是不是所有的比例都存在“外项之积=内项之积”的规律？生：需要验证所有的比例。
思考：能不能用一个比例代表所有未知比例呢？
引导：用字母表示不确定的数。
用字母a、b、c、d表示比例的四个项，a:b=c:d表示任意一个比
例，是否必有ad=bc？
思考：比例是由比组成的，比与什么知识有关系呢？（除法、分数）
①根据比与除法关系，考虑要证明的等式：ad=bc，则a与b不能在等式的一边，b要移动到等式的右边。此时，在a:b=c:d中，a与b是一种相除关系，那么，如何实现把b移动到等号右边呢？
把a看作被除数，b看作除数，由于商是一个数值，所以，把c:d看作c
d（数值商），则原比例可写为：
a÷b=cd
②a÷b=cd和结论ad=bc相比，需要把b和c放在等号的一边，所以，根据被除数=除数×商，使得b到达等号的右边，可知：
a=b×c
d
同时，b与c凑在一起，则a=b×c
d变形为：
a
=bc
d
③同理，与证明等式ad=bc相比，d和a需凑在一起，则根据比与除法的关系，将bc整体看成被除数，d看成除数，a看成商，则a
=bc
d变形为：
a=bc÷d
④a=bc÷d和结论ad=bc相比，需要把a和d放在等式的一边，根据被除数=除数×商，将a=bc÷d变形为：
ad=bc
总结：在数学证明过程中，时刻观察已知等式与证明等式之间的
联系，并逐步将已知等式转化为要证明的未知等式。
用字母表示规律：字母a、b、c、d表示比例的四个项，a:b=c:d表示任意一个比例，则ad=bc。
（注意：根据比的后项不能为0，则b、d不能为0。）
用文字表示规律：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
用举例说明规律：列举比例24:16=60:40。
说明：不用计算外项之积与内项之积，可直接呈现24×40=16×60（外项之积=内项之积）。
（三）
辨析性质，延展规律
师：根据比与分数的关系，如果把比例写出分数形式，比例的基本性质又如何表述呢？
以具体实例说明，24:16=60:40写成分数形式24
16=60
40后，师生讨论：
1.比例的外项与内项分别是哪两个数？
2.外项之积与内项之积是如何在等号两端的分子和分母中表现出来，表现形式是怎样的？
总结：若将比例改写为分数形式，比例的基本性质可表示为等号两端的分子和分母分别交叉相乘，积相等。
（四）有序思考，应用新知
师：刚才我们已经写出由“2、3、4、6”组成的多个比例，那么，“2、3、4、6”可以组出多少个比例呢？
学生试写、汇报，并相互补充。
发现问题：有的比例重复出现，有的比例被遗漏。
问：怎样能写的又快又全且不重复呢？有什么窍门吗？
学生思考，展开讨论，小组汇报。
发现：可以从比例的基本性质（外项之积=内项之积）思考。将乘法算式2×6=3×4改写成比例，能保证既不遗漏也不重复的写出所有比例。
（1）把2和6同时放在内项位置上（注意：2和6顺序可颠倒，3和4顺序也可颠倒），可以写出几个比例？
3:2=6:4
4:2=6:3
3:6=2:4
4:6=2:3
（2）问：2和6仅能放在内项位置上吗？还可以怎样交换位置？
生：2和6也可放在外项位置，则3和4需放在内项位置，顺序都可颠倒。
2:3=4:6
2:4=3:6
6:3=4:2
6:4=3:2
总结：从比例的基本性质进行有序思考，可快速找出全部比例。也就是说，乘积相等的等式（0除外），保证既不遗漏也不重复地写出所有比例。
【设计意图】结合“用字母表示数”、“比和除法、分数的关系”、“被除数、除数和商的关系”等旧知，以“发现——验证——辨析——应用比例的基本性质”为研究主线，学生采用不完全归纳法与完全归纳法相结合的验证方法，从个例情况推至一般规律，高度参与知识的发现与获取过程，充分感受转化思想与学科文化。同时，教师充分挖掘情境教学中的问题串效应，通过鼓励学生用自己方式表达观察、发现的结果，注重知识的延展性与整合性，使学生深入理解和掌握比例的基本性质相关知识，显著提升“发现”意识与创新精神，使其学会科学地、实事求是地研究问题。
三、拓展应用，思维创新
（一）代数应用，知识延展
出示例题：“3、4、5、8”四个数能组成比例吗？若能，请把组成的比例写出来。
学生思考回答：不能。
问：同学们，你的方法是试着写，才发现不能组成比例吗？
生：不是，把这四个数从小到大排列，利用比例的基本性质直接判断。即：最小数与最大数相乘是否等于中间两个数相乘。因为3×8≠4×5，所以不能形成比例。
总结：只有在比例中，才有外项之积等于内项之积。若外项之积不等于内项之积（3×8≠4×5），则一定不能组成比例。
延展应用：任意给出四个数，应用比例的基本性质，可准确判断是否可以组成比例。
课后小活动：试一试，任意说出四个20以内的自然数，看看它们能否组成比例。
师：你能从“3、4、5、8”中换掉一个数，使之组成比例？
生：把5换成6。
师：只能换5吗？若要换掉8呢？
（引导学生回顾：比例中每一项都可以是整数、分数或小数等。）
生讨论、发现：应用比例的基本性质，若换掉数字8后，形成3X=4×5后，可形成8个比例。
师：若要换掉任意一个数，可以吗？这将是下节课的研究内容——解比例。
引导了解：已知比例的三项，根据比例的基本性质求出第四项。（即：把第四项设为x，由比例的基本性质建立方程，求解方程未知数，并举例说明。）
（二）实际应用，情境学习
情境问题：小明用12元买了A个笔记本，照这样计算，小红用B元买了5个笔记本。
1.你能找到比例吗？
（12:A=B:5）
2.A和B内可以填（）和（），还有不同答案吗？
学生独立思考，教师巡视，个别指导，然后全班交流，并感受比例中A和B两项的取值范围。
师：生活中还有类似这样的比例问题吗？请同学们依据此比例
（12:A=B:5）讲述情境故事。
（思考题：请以数学日记的形式，依据上题给出的比例编写一道数学情境题，并注重题目中比例项的取值范围。）
【设计意图】练习设计既渗透了代数思想，也发掘应用意识，练习题体现层次性、渐进性、典型性、综合性，容量较大却活而不难。主要体现学生整合旧知、内化新知的能力。在思考中，学生加深对比、比值、比例的意义、比的性质和比例的基本性质等知识的融合理解，其中，练习层次上，注重由易到难；形式上，由单一化走向开放化，分层次练习使得学生有话可说、有问题可问，真正发挥智慧、驾驭知识，成为学习的主人。
四、课堂总结，内化新知
师：这节课我们研究了什么问题？你学会了哪些新本领？比例基本性质在实际生活中有什么应用呢？
【设计意图】课程以讨论结尾，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观层面，关注学生感兴趣、会应用的知识内容进行总结交流。同时，整体上以设计应用为主导，注重语言表达与归纳概括能力，提升知识架构的应用性和网络化，充分发挥学生的主体效应和发散思维，感受数学与生活的紧密联系。
【板书设计】
比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
【教学反思】
课程标准（2011版）明确提出“数学教学应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。同时，变“接受性学习”为“创造性学习”，让学生在观察、计算、交流和归纳的过程中探索、领会新知，初步培养学生探索交流和解决问题的能力。
本课从学生思维发展的整合角度考虑，整个教学过程处处体现“发现”、“设疑”、“探究”、“交流”、“归纳”等学习环节，效果可见一斑。在“设疑”这个环节中，从学生已有知识入手，精心围绕本节课的重难点采用问题探究式展开学习，使得学生自主发现问题与解决问题。“探究”是本课教学的亮点，主要采用不完全归纳法和完全归纳法引导学生提出质疑，归纳结论。具体表现在：
一、深入形式化的定义，深挖概念的本质内涵。
本课充分尊重学生的认知规律，以感性认知为基础，通过表象认知促进深层理解与辨析应用。即：以问题串的形式，从大量实例充分感知与体验，发现旧知与新知（比与比例）的契合点，在猜测与验证的基础上，运用多种手段、多角度夯实基本概念,，打牢认知基础并发现新知。
同时，从形式化的描述性定义出发，学生在相似概念不断辨析的过程，逐步舍弃概念的非本质属性。同时，以探究活动为主，体验与应用两者相辅相成，不断深化、理解概念的本质属性，引发学科思考、促进思维发展，经历概念的过程化与内涵化。
二、渗透学科思想方法，培养问题意识。
作为推理证明的严格手段，根据学生的年龄特征和认知规律，在其可接受的原则下，本课采用不完全归纳法与完全归纳法相结合的教学方法，归纳与演绎中展现比例基本性质的发现与推导。上述方案避免合情推理论证问题的局限性，在尝试探究的过程中，比例的基本性质在学生已知范畴内获得严格而简易的证明。因而，多样性的论证方法，加深对概念学习的认知范畴，推动即将跨入中学学习的学生思维严谨性和逻辑性，并有效衔接中小学学科思想方法和能力要求。
同时，在探究规律的推理中，建立知识架构的思维联系性，形成对自身经验的直观解读，以问题意识带动学生形成清晰的概念体系。同时，鼓励学生尝试探究，使得学生积累学习经验，通过多样计算、交流讨论，自主建构知识概念体系。
三、应用概念解决问题，深化认识提高能力。
本课练习中，使学生把所学知识——数学概念运用到生活实际中，概念学习得到应用性巩固，提高学生对数学概念的运用能力。同时，在巩固练习中，激活学生思维模块中的基本活动经验，注重引导学生运用概念去解决学科问题，使得探究走向深入和深刻，显著培养学生有序思考和善于观察的学科素养，最终提升学生思维含量与核心素养。
综上所述，“生本”理念——生为主体、学为中心体现在课堂学习的方方面面中，力求学生在独立思考、自主探索、合作交流的学习过程中，探索知识的形成与延展，引导学生参与知识的挖掘与内化过
程，进而，整体提升数学素养与能力。
