几何原理和平行假设
大约2300年前，在埃及的亚历山大城，欧几里得写了《几何原理》，这是几何学中一系列涉及各种主题的定理和证明。 《几何原理》的48个已被证明的定理是基于欧几里得在开始工作时列出的5个公理、23个定义和5个常见概念。 这些定义涵盖了理解其余工作所需的词汇表。 常见的概念是代数等价，如交换性(a b=b a)和传递性(如果a=b和b=c，那么a=c)。 这5个公理是构成逻辑系统主*未经证明的陈述。 在这5个公理中，有4个比较直观，
即：
- 两点之间可以画一条直线，
- 线段可以定义一条直线，
- 圆心和半径可以定义圆，
- 所有的直角都是全等的，
然而，第五个也是最后一个假设称为平行公设 就不那么明显了。 是最常见的说法,“如果一条直线落在两条直线同侧上的内角不到两个直角的总和,那么那两条直线,如果无限期地延长,这两条直线将在小于两个直角和这侧相交。” 在下图中，这可以解释为，如果α β<180，则这两条线将在下图右边相交。
有许多命题与平行公设 是等价的。 其中一个很常见的说法就是公平公理。 这个公理指出，给定一条直线l和一条不在直线上的点P，存在一条通过该点的唯一直线，与该线平行。 我们可以通过假设平行公设为真来证明这一等价性，并用它来证明公平公理，反之亦然。 根据平行公设,我们可以构造一个独特的通过P点平行于l的直线，然后再通过P点画一条垂直于l 的直线。这必须是独一无二的,因为过P点的其它线其他线会形成一个角不等于90度, 根据平行公设从而将与l相交。 接下来，根据公平公理，我们可以非常类似地证明平行假设。 除了公平定理保证的那条过P 的平行线外，任何其它一条线(如图中的绿线)的垂线一侧的角度之和必须小于180度，并且一定和l相交，因为它不是一条平行线。
由于它比其他公理要复杂得多，所以最后的公设必须加以仔细研究。 在17和18世纪，数学家开始质疑这个公理的正确性，通常被称为第五或平行公设。 在这个问题上最著名的著作之一是1733年由一个叫吉罗拉莫·萨切里的人出版的《欧几里得的一切》。 萨切里用反证法证明了平行公设的矛盾。 不幸的是，他的写作依赖于一些未阐明的假设。 萨奇里是一位著名的逻辑学家和校对员，所以这些错误并不典型。 因此，人们推测萨奇里知道自己的错误，也知道非欧几里得几何的可能性，但可能不愿受到教会的谴责，因为当时教会对维持现状的态度非常强硬，即使是在数学和科学领域。 他的著作提出了一种观点，即平行假设为假的几何是如何存在的。 萨奇里构造了一个底部有两个直角的四边形。 对于他的反证法，他假设另外两个角(顶角)的和不是180度。
在欧几里得平面，三角形内角和是180度，但在非欧几何可能是小于180度或大于180度。接下来我们说明不同的几何空间。
双曲几何
萨奇里的图留下了两种矛盾的可能性。 两个顶角之和，要么大于180，要么小于180。 这种几何结构是通过修改最终假设而形成的，即通过与另一条直线以外的一点，至少有两条不同的直线与其平行。 对于这两条不同的直线，它们之间的所有直线都是平行的，所以有无数条不同的平行线。 这是一个马鞍形的几何图形(就像品客薯片一样)，因为这允许直线以修改后的假设所规定的方式相交。 这种几何结构叫做双曲几何(尽管它与圆锥截面没有直接关系)，而几何结构的表面叫做双曲平面。
