双曲几何仍然满足前四个欧几里得定理:两点定义一条线段，线段定义一条线，圆由圆心和半径定义，所有的直角相等。 这些假设的表达可能与我们预期的略有不同，就像圆和线在双曲几何中显现的不同一样。
一个对双曲几何非常有用的模型是彭卡莱（Poincaré）圆盘。 这是双曲平面在单位圆上的投影。 直线被定义为与圆盘的边正交并相交于直角的圆。 当一个人接近圆盘的边缘时，距离会缩小，所以靠近投影中心的物体看起来比靠近边缘的物体大。 由于距离不断缩小，边缘上的点可以想象为离中心无限远的点。 我们可以证明这个模型满足双曲几何的第五个假设:给定一条直线和一条不在直线上的点，我们可以画出多条平行线，如下图所示。
双曲几何中的三角形有一些有趣的性质。 和欧几里得几何一样，三角形是由三个点定义的。 然而，在双曲几何中，角的和总是小于π，这可以通过将萨奇里四边形分成两部分来推断。 在萨奇里四边形中，根据定义，角的和小于2π。 因此，一个直角三角形，将四边形分成两部分后，其内角之和一定小于π。 下面的图形中的三角形都是等边的，但在曲面上的中心有7个经过点P的全等三角形，显然三角形的内角和不是180度。
三角形也可以用无穷远处的点或庞加莱（Poincaré）圆盘的边缘形成。 在这种情况下，这两条线被称为极限平行线，因为它们从不相交，但彼此无限接近。 一个有三个理想顶点的三角形的内角和为0。 下面显示了庞加莱圆盘（Poincaré Disk）上的一个示例。 在双曲几何中，三角形的面积与角度差成正比，角度差即三个内角和与π的差。 在双曲几何中有一个很重要的结论:单位圆的一个角为A、B、C的三角形的面积S=π - A - B - C。
因为A B C=π-S，所以双曲面上的三角形内角和小于180度。
这个定理提供了一些很好的推论，包括π三角形面积的上界，π三角形有三个极限顶点。 下图提供了一个三角形的顶点在无限位置的例子，显然内角和小于180度。
