微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
—— 冯. 诺伊曼
数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是现代数学许多分支的基础,是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕,撼人心灵,是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材.
微积分中重要的思想和方法:1.“极限”方法,它是贯穿整个《微积分》始终。导数是一种特殊的函数极限;定积分是一种特殊和式的极限;级数归结为数列的极限;广义积分定义为常义积分的极限;各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以,极限理论是整个《微积分》的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限,但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容,这是《微积分》最有魅力的地方之一。
2.“逼近”思想,它在《微积分》处处体现。在近似计算中,用容易求的割线代替切线,用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积;用折线段的长代替所求曲线的长;用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。
3.“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法,学习《微积分》就不会遇到太多困难,甚至能做到得心应手。
4.“特色定理”是《微积分》的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理,支撑起《微积分》的大厦。
5.“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。
函数、极限和连续函数是现代数学的基本概念之一,是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础,极限方法是微积分的基本分析方法,因此,掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态.
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如,春秋战国时期的哲学家庄子(公元4世纪)在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”(参看光盘演示)有一段名言:“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”,其中也隐含了深刻的极限思想.
极限是研究变量的变化趋势的基本工具,高等数学中许多基本概念,例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.