运用题设中的隐含条件
例1 已知:|x-2| x-2=0,求:x 2的最大值。
因为|x-2| x-2=0,所以|x-2|=-(x-2),根据绝对值的概念,一个数的绝对值等于它的相反数时,这个数为负数或零,所以x-2≤0,即x≤2,这表示x的最大值为2,所以x 2的最大值为4。
利用数轴获取信息
例2 有理数a,b、c在数轴上的位置如图1所示,化简|a| |b| |a b| |b-c|式子。
图一
观察数轴可知a<0,c>b>0,且|c|>|b|>|a|,则a b>0,b-c<0, 所以
原式=-a b a b-b c=b c
最后一道难题
遇到难题的慌张
例3 化简||x-1|-2| |x 1|
这道题有点难,有的同学完全不会做。
有句话叫“难者不会,会者不难”。
明朝数学家程大位说过:“难者,难也。然似难而实非难也。……,其难题唯在乎立法,立法既明,则迎刃而破,又何难之有哉。”
找到解题方法,就不难了。
题目有三个绝对值,先确定零点值,再用零点分段法分类讨论。双层绝对值就分步骤去绝对值符号。
题目有三个零点,即-1,1,3,这三个点把数轴分为四段,分段讨论。
解:
(1)当X<-1时,
原式=|1-x-2|-X-1
=|-X-1|-X-1
=-X-1-X-1
=-2X-2
(2)当1>X ≥-1时,
原式=|1-X-2| X 1
=|-X-1| X 1
=X 1 X 1
=2X 2
(3)当3>X≥1时,
原式=|X-1-2| X 1
=|X-3| X 1
=3-X X 1
=4
(4)当X≥3时,
原式=|X-1-2| X 1
=|X-3| X 1
=X-3 X 1
=2X-2
综上所述,绝对值在初中数学中有着重要地位,贯穿于整个初中代数、几何的各个角落。绝对值是重要的数学基础知识,蕴含了丰富的数学思想和方法,如数形结合思想、化归思想、分类讨论思想等,应当引起足够的重视。
附录:绝对值相关学习资料