它既不依赖几何的含义,又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础,微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来,免去任何与感性认识联系的性质。
几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与儿何量观念的联系之后才能完全达到。
一句话来说，实数理论体系的建立对于我们现在的所有数学认知体系都产生了巨大的影响，就我们现在所学的任何数学知识都脱离不了这严密的实数理论体系。实数理论体系就相当于夯实了整个数学大厦的根基，让各种数学理论、思想在其中自由发展。
而其中，“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯又用了“ε-δ”语言一举克服了“lim困难”，他将极限定义如下：设函数f（x）在x0的某个“去心领域”内有定义，则任意给定一个ε大于0，存在一个δ大于0，使得当
时，不等式
成立；则称A是函数f（x）当x趋近于x0时的极限，记成
