1986年出土于湖北江陵的张家山汉代竹简,内有一部《算数书》,内容与我国最早的传世数学著作《九章算术》接近,成书年代则早于后者,在数学史研究中地位重要。
《算数书》有《少广》一章,内列一亩之田已知宽度、求其长度的解题方法和算题集。“少广”是古代“九数”之一,著名的数学课题,《九章算术》也专列一章,包含以最小公倍数通分、开平方、开立方等复杂公式和算题。《算数书》中的《少广》没有这么多内容,只是提供一个简便算法,用来解决生活中的土地步量问题。
对《少广》的整理注释,主要有彭浩先生《张家山汉墓〈算数书〉注释》的相关部分(科学出版社,2001年)与纪志刚先生《〈算数书〉“少广”“大广”二问的释读与校勘》(《自然科学史研究》,第24卷第3期,2005年)。现在看来,两个注本都有未愜之处,并且文中有一个难识之字,众说纷纭,影响到对文义的理解,有必要再作讨论。
“投”少广之术
下面从《张家山汉墓〈算数书〉注释》节录《少广》的术文部分:
少广
救(求)少广之术曰:先直(置)广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分以尽所救(求)分同之,以为法。即耤(藉)直(置)田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得從(纵)一步。不盈步者,以法命其分。 文中有几对通假字。第一个字前后出现两次,彭浩将其隶定为“救”,读为“求”,引来不少商榷意见。下面“直”读为“置”,“耤”读为“藉”,“從”读为“纵”,都是算术用语,在出土文献中常见,没有异议。
对彭浩释为“救”的字,吴朝阳释为“扱”,谭竞男释为“牧”,均取义为“求”,指“求解”“求取答案”。按“求”义在文中扞格难通。在第一处,“少广之术”是用来解题的现成方法,下面运算都据此进行,若此字确为“求取答案”之义,就应当说“以少广之术求之”,而非“求少广之术”,否则就变成对“少广之术”本身的推演了。岳麓书院藏秦简《数》“少广术”的类似起首语句,为“述(术)曰以少广”、“即以少广曰”,所用词皆为“以”,与“求”义无关。该简行文中又说“以少广求之”,可见古人言辞简练而逻辑严密。(见肖灿《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》,湖南大学博士论文,2010)在第二处,如果真是“所求分”,而且能相加(“同之”),那是“所求”已有结果,但实际情况是运算刚刚开始,远未有答案。所以这两处都不会是“求”义。
程少轩先生《小议秦汉简中训为“取”的“投”》一文(《中国文字学报》,第七辑,2017),将此字与放马滩秦简《钟律式占》中字形相同而较清晰的“投”字进行综合研究,认为此字也是“投”,在算数书中应训为“取”。
这是个通达的解释。在“取”的“采用”之义上,《少广》两处文字均可讲通,第一处即“取用少广之术”,第二处即“将所取用的算筹相加”,但若使用“求取”之义,依然不通。
既然此字即放马滩秦简中的“投”字,我们可以利用该简中的训诂资料更进一解(下文所引放马滩秦简文均据《秦简牍合集4放马滩秦墓简牍》,武汉大学出版社,2014)。
尽所“投”分
放马滩秦简中很多占法需要通过计算来进行,程少轩文中举出不少例子,但有一条与我们现在讨论的问题密切相关,他没有提及:
凡阴阳钟,各殳(投)所卜大娄(数)曰置娄(数)者。(《阴阳钟》,第130页)
此句通过“曰”建立起一个等式,“投大数”=“置数”,也就是“投”=“置”。
再看程少轩引用的两段文字:
凡人来问病者,以来时投日、辰、时数并之。(《问病》,第142页)
占病者,以其来问时直日、辰、时,因而三之。(《占病》,第144页)
程少轩认为从“直日辰时”可知占卜是用求卜时刻的天干、地支、时辰对应的具体数值计算,但未揭出这两句也直接表明“投”的词义等同于“直”。他将“直”读为“值”,解为“数值”,则可商榷。此“直”应和《算数书》中的“直”一样,释为“置”,即用算筹摆出数字,给出计算条件。上引文“置”用在“日辰时”前面,所置确是它们的数值,但“置”本身并不是数值。
用算筹摆出数字,给定条件,在《九章算术》中统称为“置”,在出土秦汉文献中多写作“直”,它们是没有争议的一对通假字。