柯西中值定理本身并不难，用老黄自己的话说，就是：如果有两个函数在一个闭区间[a,b]上都可导，那么在对应的开区间(a,b)上，就一定存在一个点，使得两个函数的端点函数差的比，等于这个点的两个导数值的比。当然作为除数的函数不等于0. 但是运用起来，往往都没有那么容易。
柯西中值定理应用上的难点主要来自两点，一是重复应用，即要连续应用两次以上的柯西中值定理；二是构造辅助函数，特别是复杂的辅助函数。比如下面这道题，就两样都占齐了。
设函数f在[a,b]上三阶可导，证明：存在ξ∈(a,b)，使得
f(b)=f(a) 1/2* (b-a)[f’(a) f’(b)]- 1/12* (b-a)^3f”’(ξ).
分析：一般的做法是先构造辅助函数。但如果老黄直接把构造好的辅助函数写出来，相信绝大多数人是不明白它们是怎么来的。因此，很多人会问：“老黄，你怎么知道要构造这样辅助函数的啊？”然后老黄就厚着脸皮回答：“我是看答案的呀！”那就没有什么意思了。
所以，看答案是真的！但老黄要告诉你，为什么会构造出这样的辅助函数，那才是老黄的主要任务。而不是把答案搬运给你看就算了事了。
为了找到辅助函数，我们应该把式子化为右边只含有ξ的式子。即
(f(a)-f(b) 1/2*(b-a)(f′ (a) f′ (b)))/(b-a)^3 =f”’(ξ)/12. （1）式
两个辅助函数，有一个已经非常清楚了，就是G(x)=(x-a)^3, 因此柯西中值公式中的G(b)-G(a)=(b-a)^3. 这一步如果走不通，需要重新构造G(x)，那难度可就直接上升到“噩梦级”了哦。
另一个辅助函数可能性比较多，但最有可能的形式有两种：
一是F(x)=f(a)-f(x) 1/2(x-a)[f′ (a) f′(b)]；一是F(x)=f(a)-f(x) 1/2(x-a)[f′ (a) f′(x)]. 因为不论是哪一个形式，柯西中值公式中，都有F(b)-F(a)=f(a)-f(b) 1/2*(b-a)(f′ (a) f′ (b)).
当然，两个形式对比一下，第一个形式显然更加靠谱，结果就真的是第一个形式哦。这里可能还需要一些尝错的过程。高等数学，越是到后面的阶段，越需要更多的尝试错误哦。
然后分别求两个辅助函数的一阶导数和二阶导数。如果只需要应用一次柯西中值定理，那么就只需要求一阶导数就够了，但这道题显然是要应用两次以上的柯西中值定理的。
其实，现在还没有跳出尝试错误的循环，接下来的过程就像撞大运，只要辅助函数构造正确，就能得到要证明的式子。如果构造得不对，就只好重新构造，因此，从构造辅助函数开始，它就是编程语句“for”的开始。
首先是F,G符合柯西中值定理的条件，因此，在(a,b)上有一点η，使得柯西中值定理的公式成立。公式左侧的(F(b)-F(a))/(G(b)-G(a))，展开正好就是(1)式左边的形式。而右侧的式子F'(η)/G'(η)并不需要展开。
因为F', G'也符合柯西中值定理的条件，因此，在(a,η)上仍有柯西中值定理的公式成立。它的左侧式子(F’(η)-F’(a))/(G’(η)-G’(a))中，F'(a)和G'(a)正好都等于0，当然，这都是题目设计好的嘛。所以左侧的式子就是F'(η)/G'(η). 而右侧的式子F"(ξ)/G"(ξ)，它好巧不巧的，就等于f"'(ξ)/12，你说神奇不神奇。因此“for”语句到这里就结束了。现在(1)式成立，原式就成立，从而得证。
分析的过程，其实就是一个逆向思维的过程，接下来以图片的形式展示证明的过程如下图：
希望老黄的例题分析对你的学习有帮助，也谢谢你耐心地阅读老黄的作品，看老黄写了这么多废话！如果你有什么想法，请畅所欲言！
