中国元代归除口诀与正态分布几何量数学模型
归一三角数表计量公式与标准正态分布函数值
黄裕权（黄裕泉黄晓勰）
摘要：“归除口诀”是元代朱世杰研究过的一种正态分布几何量数学模型，他从中概括出的一组正态分布计量（公式）口诀，从而揭示出“点、线、面、体、质”五者之间的数与量的计量单位和计量基准，正态分布函数值（Y1=X/N，分子X是累加频数变量、分母N是总量; Y2=(X^2)/((N^2)/2), 分子 X 是量表线性变量（0—N/2），分母(N^2)/2，是等腰三角面积（总量）。“归除口诀”也是中国古代立场、观点和方法论的一种数学模型。
1. 归一除法口诀与归一三角数表 ：
儿时在师塾学堂中学习珠算，珠算归除口诀是学习除法的的必备知识：“二一添作五、逢二进一，三一三十一、三二六十二、逢三进一，四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进一，五一配作二、五二配作四、五三配作六、五四配作八、逢五进一，六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进一，七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进一，八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进一，九一下加一、九二下加二、九三下加三、九四下加四、九五下加五、九六下加六、九七下加七、九八下加八、逢九进一”。用现代语言将它翻译成归一三角数表、正态分布几何量数学模型、累加百分位计量公式、中位量和量表（表1）
归除口诀用分数形式表示，其公式：Y1=X/N， X为分子变量（0—N）、N为分母（自然数）。归除口诀从一至九，用分数形式表示，构成的三角即为自然数归一三角数表；用小数形式表示，其正态分分布范围归一为（0—0.5—1.0）；用几何量正方块（质量、体积、面积、边长和点）表示，其（量表）边长=自然数（总量）开平方，即自然数的平方根；用等腰三角正态分布对称轴中位量表示，即直角三角形的底边长=自然数（总量）的平方根/2或自然数（总量）/4再开平方。
自然数1至9再扩大，可至无限大，其中N^2九九归一正态分布数学模型，量表都是自然数正整数，在现实生活中便于度量和刻度的几何量数学模型。无论自然数归一或是九九归一，其正态分布累加函数值是千变万化各不相同的。因为计量是指实现单位的统一，而单位则是指定量表示同种量的大小而约定定义和采用的特定量，所以，在自然数中以五指为计量标准，约定特定量(5^2)的等腰三角面积（12.5）为计量单位，该单位是自然数中符合五级十进制正态分布中唯一最小的公约数，而十进制又是国际计量单位认定的基准进制。
家之大小、国之大小、世界之大小、宇宙之大小，都可以纳入归一之中；0”和“1”则是两个极端的立场，而中位“0.5”才是不偏不倚的平衡点；地球上大小不同强弱不等的国家联合归一成“联合国”，联合国宪章则是归一的中位点，各自立场不同，只有相向而行，能达成共识；地球归一、太阳系归一、银河系归一、宇宙归一、自然数N可至无限小也可至无限大，而五指计量则是人类认知的基础；……。
2.归一除法口诀与正态分布几何量数学模型：
不同的质量，放在相同容量（归一）的容器中，密度随着质量的增加而增加，就能构成比例关系。
归一除法的实质是将不同数量的物质（质量、密度）放在相同空间（容器）内，其物质的密度在相同体积（容器）中的变化规律，它可以用立体正方块、平面正方块、正态分布的等腰三角方块的面积、直角三角方块的面积或直角三角的底边线长来表示（几何量数学模型计量最终可以用线量表示）。例如，分别将1至九斤的食盐分别放置在容积相同（归一）的九个容器中，其食盐的密度从图1中的等腰三角量表中即可计算出。
例1. 图1四号容器中位量为1，其溶质总量=1*1*4=4；五号容器中位量为1.118，其溶质总=1.118*1.118*4=5；六号容器的中位量为1.225，其溶质总量=1.225*1.225*4=6…（图1）。
例2. 图1五号方块是五平方米，其中等腰三角面积是几平方米？在0.5米处作一垂直线与等腰三角斜边相交
如图1五号方块红线所示，请问标记问号的小直角三角形面积占总面积的百分之几?
解：五平方正方形的边长=5开平方=2.236米，等腰三角中位量表长=2.236/2=1.118米，标记问号小三角面积=0.5*0.5=0.25平方米，0.25/2.5=0.1 即是占五号等腰三角总面积的10% ，0.25/5=0.05 即是占总正方块面积的5%。由此可见几何量中（质、体、面、线、点）五种不同概念，数和量单位之间的相互关系。
图2是归除口诀三角数表及其几何量块和等腰三角三者之间关系的图解：1与不同单位总量之比，即1/1、1/2、1/3…（二一添作五、逢二进一；三一三十一、三二六十二、逢三进一 … 如图2三角数表所示…）。等腰三角面积=正方块面积/2；直角三角面积=直角三角底边平方，直角底边长=直角三角面积开平方；等腰三角正态分布累加百分率函数值：Y2=(X^2)/(N^2/2) X是直角三角底边线长，此时的N是等腰三角底边线长即正方块的边长；当N为总量时，则量表的线长=N总量的平方根，这是两个不同的概念，其实质相同（同一个等腰三角），都可以用来计量等腰三角正态分布累加百分率（位），可以通过比例进行等值转换（图2）。为了进一步说明两种不同概念之间的相互关系，请看自然数的平方归一与正态分布几何量数学模型。
3.自然数的平方归一与正态分布几何量数学模型。
2归1与4归一，3归1与9归一，4归1与16归一，5归1与25归一，…；前者是自然数归一，后者是自然数平方归一。它们之间的区别和联系（图3）。
N^2是显示正方形的变化规律，从珠算累加至峰值再倒加归一的总量=N^2。等腰三角面积=（N^2）/2，直角三角面积=（N^2）/4，直角三角底边线长（正方形边长/2）的量变，可以直接用来计量“质（密度）、体、面、线、点”的正态分布累加百分率。
